Як ця граматика LL (1)?

Це питання з Книги Драконів. Це граматика:

$S \to AaAb \mid BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Питання задає питання, як показати, що це LL (1), але не SLR (1).

Щоб довести, що це LL (1), я спробував побудувати його таблицю розбору, але я отримую кілька виробництв у комірці, що суперечить.

Скажіть, будь ласка, як це LL (1), і як це довести?

Спочатку давайте дамо номер вашим постановкам.

1 2 3 4$S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Давайте обчислимо перше і слідуємо множинам спочатку. Для невеликих прикладів, таких як ці, достатньо використання інтуїції щодо цих наборів.

$$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$$

Тепер давайте обчислимо таблицю . За визначенням, якщо у нас не виникають конфлікти, граматика - .$LL(1)$$LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

Оскільки конфліктів немає, граматика є .$LL(1)$

Тепер для таблиці . По-перше, автомат.$SLR(1)$$LR(0)$

$$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\ $$ $$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\ $$ $$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\ $$ $$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\ $$ $$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\ $$ $$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\ $$ $$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\ $$ $$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\ $$ $$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\ $$

І тоді таблиця (я припускаю, що за може бути дотримано все, що завгодно).$SLR(1)$$S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

У стані 0 виникають конфлікти, тому граматика не є . Зверніть увагу , що якщо був використаний замість цього, то обидва конфлікти будуть вирішені правильно: в стані 0 на випередження прийме R3 і на упреждающей вибірці він вважатиме R4.$SLR(1)$$LALR(1)$$a$ $LALR(1)$$b$

Це породжує цікаве запитання, чи є граматика але не , що є таким випадком, але нелегко знайти приклад.$LL(1)$$LALR(1)$

Якщо вас не запитують, вам не доведеться будувати таблицю LL (1), щоб довести, що це граматика LL (1). Ви просто обчислюєте набори FIRST / FOLLOW, як робив Алекс:

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

І тоді, за визначенням, граматика LL (1) повинна:

1. Якщо та це два різні правила граматики, то це повинно бути, що ім'я . Отже, два набори не мають жодного спільного елемента.$A \Rightarrow a$$A \Rightarrow b$$\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
2. Якщо для будь-якого нетермінального символу вас є , це має бути . Отже, якщо є нульове виробництво для нетермінального символу, то набори FIRST і FOLLOW не можуть мати жодного спільного елемента.$A$$Α \Rightarrow^* ε$$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

Отже, для даної граматики:

1. У нас оскільки а і вони не мають загальних елементів.$\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$$\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
2. $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$ оскільки а , і тепер оскільки а .$\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$$\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$$\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$

Щодо аналізу SLR (1), я думаю, що він є бездоганним!

Шукайте достатню умову, завдяки якій граматика LL (1) (підказка: подивіться ПЕРШІ множини).

Шукайте необхідну умову, якій повинні відповідати всі граматики SLR (1) (підказка: подивіться набори FOLLOW).