Знайдіть найдовший візерунок у рядку

Я шукаю ефективний алгоритм, щоб знайти найдовший повторюваний візерунок у рядку.

Наприклад, розглянемо наступний рядок чисел:

5431428571428571428571428571427623874534.

Як бачите, 142857142857це найдовший візерунок, який повторюється пару разів (принаймні двічі) у цьому рядку.

Повторний рядок не повинен містити жодної ідеї, а не грубої сили?

Проблема напрочуд нетривіальна. По-перше, два алгоритми грубої сили. Квадрат ("повторний візерунок") задається його довжиною $\ell$ і положення $p$, і потребує часу $O(\ell)$перевірити. Якщо ми перейдемо над усім$\ell$ і $p$, ми отримуємо $O(n^3)$алгоритм. Ми можемо покращити це, спочатку перебравшись$\ell$, а потім сканувати рядок двома запущеними покажчиками на відстані від $\ell$. Таким чином можна перевірити, чи квадрат довжини$2\ell$ існує в лінійному часі, даючи загальний час роботи $O(n^2)$.

Колпаков і Кучеров розробили алгоритм пошуку всіх максимальних повторів у слові в часі$O(n)$ [1], і їх алгоритм можна використовувати для знаходження всіх максимальних квадратів у часі $O(n)$. Повтор подсловом виду$w^kx$, де $k \geq 2$ і $x$ є правильним префіксом $w$. Найбільший квадрат, що міститься в цьому повторі, - це$(w^{\lfloor k/2 \rfloor})^2$. Використовуючи цю формулу, даються всі максимальні повтори в слові (з яких є тільки$O(n)$ багато), можна знайти найбільшу площу.

[1] Колпаков Р., Кучеров Г. (1999). Пошук максимальних повторів у слові за лінійним часом . In Foundations of Computer Science, 1999. 40-й щорічний симпозіум про (с. 596-604). IEEE.