Чи не завершена проблема k-кліки NP?

У цій статті Вікіпедії про проблему Кліка в теорії графів на початку зазначається, що проблема пошуку кліки розміром K у графі G є NP-повною:

Кліки також вивчалися в інформатиці: пошук того, чи є в графіку кліка заданого розміру (проблема клики), не є повною, але, незважаючи на цей результат твердості, було вивчено багато алгоритмів пошуку кліків.

Але в цій іншій статті Вікіпедії про проблему Клика в CS йдеться про те, що вирішення проблеми для фіксованого розміру k є проблемою в P, вона може бути жорстоко вимушена в поліноміальний час.

Алгоритм грубої сили для перевірки того, чи містить графік G k-вершину, і знайти будь-яку таку кліку, яку він містить, слід вивчити кожен підграф з принаймні k вершинами і перевірити, чи утворює він кліку. Цей алгоритм потребує часу O (n ^ kk ^ 2): для перевірки є підграграфи O (n ^ k), кожен з яких має ребра O (k ^ 2), наявність яких у G потрібно перевірити. Таким чином, проблема може бути вирішена в поліноміальний час, коли k є фіксованою постійною. Однак, коли k є частиною вхідних даних до задачі, час є експоненціальним.

Щось тут мені не вистачає? Може бути різниця у формулюванні проблеми? І що означає останнє речення, що "Коли k є частиною входу до проблеми, проте час є експоненціальним". Чому існує різниця, коли k є частиною входу до проблеми?

Моя ідея полягає в тому, щоб знайти графіку розміру k у графі G, це те, що ми спочатку вибираємо підмножину розміру k вузлів від G, і перевіряємо, чи всі вони пов'язані з іншими k вузлами, що можна робити в постійному режимі час. І повторюйте це, поки у нас не з’явиться кліка розміром k. Кількість наборів k вузлів, які ми можемо вибрати з G, дорівнює n! / к! * (нк) !.

Тільки розробивши те, що вказував @Lamine: Коли є частиною вхідного сигналу, k може бути великим, як $k$$k$ , в цьому випадку кількість потенційних наборів кліків становить ($\frac{n}{2}$який принаймні($\binom{n}{\frac{n}{2}}$ . Отже, ваш наївний алгоритм зайняв би час2$\left( \frac{n}{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n}{2}}$ яка чітко експоненціальна у вхідній довжині| х| +| k| =n+$2^{\frac{n}{2}}$ . Параметризована версія G ( n , k ), де ми шукаємо k -кліки в n -верховому графіку, фіксує твердість проблеми в найбільш узагальненому вигляді, оскільки k є частиною вхідних даних. Отже, алгоритм багаторазового часу для G ( n , k ) також означатиме алгоритм багаторазового часу для будь-якого конкретного k .$|x|+|k|=n+\log n$$G(n,k)$$k$$n$$k$$G(n,k)$$k$