Умова нескінченності мови автомата скінченного стану

Існує теорема, яка говорить про те, що:

Даний автомат скінченного стану, що має станів, якщо існує рядок , довжина якого задовольняє то мова, прийнята автоматом, нескінченна. $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

Я розумію обмеження , але я не розумію, чому обмеження є. $|w| \geq n$ $|w| \leq 2n-1$

automata finite-automata

— rahul шарма
джерело

У гіршому випадку ваш NFA може виглядати так:

Найменший $w$ для яких гарантовано циклічність (змушуючи її приймати нескінченну мову) має розмір $2n-1$ .

— Андре Суза Лемос
джерело

Коли я починаю з q0 і після цього, коли я повертався в q0, це означає, що в машині є цикл. Чи не достатньо це в гіршому випадку, чому ми в цьому випадку знову повертаємося до фінальної стадії? Наскільки я розумію з цієї цифри, ми один раз перекачуємо цю петлю і знову переходимо до завершальної стадії, значить як тільки ми вступаємо на завершальну стадію, то ми припускаємо, що це не моя рядок, оскільки вона повернулася до якогось іншого стану, але колись вона повертається до завершальної стадії знову, то ми впевнені, що ця наша рядок, оскільки є певна петля, яка має перекачали?

— rahul sharma

Ми намагаємось довести щось про автомат, а саме, що він приймає нескінченну мову. У тому, як формулюється доказ, рядок

w

$w$ передбачається гіпотеза, розмір якої передбачається в межах певного інтервалу. Очевидно, якщо автомат має цикл, то рядок

w

$w$ існує. Що відбувається, що якщо

w

$w$ не можна знайти всередині цього інтервалу, тоді машина не може бути такою, як на зображенні. Або він не має циклів, або не має кінцевих станів.

— Андре Суза Лемос

Я розумію вашу точку. Я просто намагаюся зрозуміти верхню межу інтервалу, чому це 2n-1, а чому не 2n-x (x може бути чим-небудь, крім 1). На малюнку вище ми можемо сказати, що цикл qo -q1 .... qn-q1 .... qn, правильно (макс. цикл)? Але коли я знову q0 (q0 ... aq, q0), чи не означає це, що є цикл, так що максимум повинен бути n, чому ми додаємо n-1 до n (або чому ми знову збираємося в остаточний стан). У мене виникає певний час для отримання цього :(. може, максимум циклу буде q0., q1, q2 ..qn, qn-1, qn-1..q0, щось подібне?

— rahul sharma

Верхня межа -

2 n - 1

$2n-1$ тому що це не стає гіршим за це.

2 n - x

$2n-x$ менше, ніж

2 n - 1

$2n-1$ , і я щойно показав тобі потрібний автомат

2 n - 1

$2n-1$ кроки. Не є той, кому потрібно більше (і виконує роботу), але є той, який потребує цієї суми.

— Андре Соуза Лемос

Зрозумів зараз. Просто одна невелика сумніваність. Припустимо, у мене в машині є 4 стани. І я прочитав рядок abc, і я досяг остаточного стану, а потім я прочитав d і повернувся до початкового стану, а потім знову перейшов у остаточний стан мій рядок стане abcdabc. Як я можу розбити це на перекачувальну лему і отримати y ^ i, де i = 1, щоб показати, що y один раз перекачували.?

— rahul sharma

Додаткова умова дозволяє написати алгоритм прямого переходу - перевірити всі рядки з довжинами в цьому інтервалі - для визначення (не) кінцевості прийнятої мови. Таким чином, ви отримуєте доказ того, що ця властивість вирішується (що не для більшості моделей автоматів із надторною потужністю).

— Рафаель
джерело

Повна теорема констатує еквівалентність, а не імплікацію :

Мова, прийнята а $n$ -державна NFA нескінченна тоді і лише тоді, коли вона містить слово $w$ розмір яких задовольняє $n \leq |w| \leq 2n-1$ .

Додатковий стан $|w| \leq 2n-1$ тим самим робить теорему сильнішою .

— Юваль Фільм
джерело