Як перетворити NFA з перекриваючими циклами в регулярний вираз?

Якщо я правильно розумію, NFA має таку ж виразну силу, як і регулярні вирази. Часто зчитувати еквівалентні регулярні вирази з NFA легко: ви переводите цикли на зірки, з'єднання як альтернативу тощо. Але що робити в цьому випадку:

^{[ джерело ]}

Цикли, що перекриваються, важко зрозуміти, що приймає цей автомат (з точки зору регулярних виразів). Чи є хитрість?

Замість того, щоб «читати», для цього слід скористатися одним із кількох канонічних методів. На сьогодні найприємніше, що я бачив, - це те, що виражає автомат як систему рівнянь (регулярних) мов, які можна вирішити. Це особливо приємно, оскільки, здається, дає більш стислі вирази, ніж інші методи.

Я написав цей документ, пояснюючи метод для студентів минулого літа. Це безпосередньо стосується конкретної лекції; Згадане посилання є типовим визначенням регулярних виразів. Докази леми Ардена (необхідний результат) містяться; один для правильності методу відсутній. Коли я дізнався про це на лекції, я не маю посилання, на жаль.

$q_i$

$\qquad \displaystyle Q_i = \bigcup\limits_{q_i \overset{a}{\to} q_j} aQ_j \cup \begin{cases} \{\varepsilon\} &,\ q_i \in F \\ \emptyset &, \text{ else}\end{cases}$

$F$$q_i \overset{a}{\to} q_j$$q_i$$q_j$$a$$\cup$$+$$\mid$

$Q_i$$q_i$$Q_0$$q_0$

Застосування до заданого автомата залишається як вправа; повний приклад включений у вищезв'язаний документ .

^{Дивіться також тут, де я розмістив подібну відповідь.}

Якби був просто ланцюжок держав, що не мають циклу, ти би знав, що робити?

Якби була проста петля без цього перекриття розгалуження, ви б знали, що робити?

(Якщо відповідь "ні", спочатку подумайте про ці випадки.)

Тепер ідея полягає в тому, щоб перетворити автомат поступово, щоб помістити його у форму, де ви зможете помітити ті візерунки: ланцюги, петлі та розбіжні шляхи, які в кінцевому підсумку перетворюються (ведуть до чергування). На кожному кроці перетворення слідкуйте за тим, щоб трансформований автомат все-таки розпізнавав ту саму мову.

Майте на увазі , що це НЕ -deterministic автомат. Та, яку ви опублікували, буває детермінованою, але вона не повинна залишатися такою, коли ви її трансформуєте.

$q_2$$q_1 \xrightarrow{f} q_2 \xrightarrow{g} q_3$$q_4$$q_2$$q_5$$q_4 \xrightarrow{j} q_5 \xrightarrow{g} q_3$

$q_3,q_4,q_5$$q_3$$q_3$$(hjg)^*$

Не забудьте перевірити, які стани є остаточними. Це може допомогти спочатку не хвилюватися з цього приводу і зробити одну велику петлю, а потім дублювати частини, які закінчуються через петлю.

Це не обов'язково найефективніший прийом або той, який генерує найпростіший регулярний вираз, але він простий.