Чому лінійно-обмежені машини твердіння є більш потужними, ніж автомати з кінцевим станом?

У мене було враження, що наші комп'ютери, будучи скінченними, в кінцевому рахунку не більш потужні, ніж (надзвичайно великі) Кінцеві державні машини. Однак машини з обмеженим лінійним обмеженням також є кінцевими, але, схоже, звичайні мови є строго неправильним підмножиною контекстно-чутливих мов.

Очевидно, мені щось тут не вистачає. Що відбувається?

finite-automata computation-models linear-bounded-automata

— Бен І.
джерело

Відповіді:

Лінійно обмежена машина Тюрінга обмежена стрічкою, довжина якої є лінійною функцією довжини вводу.

Якби обмеження довжини було постійним, то машина була б не потужнішою, ніж DFA. Однак DFA не може виростити більше станів, щоб впоратися з більш тривалим входом, що фактично може зробити LBTM (приймаючи стан для всієї конфігурації машини.) Отже, LBTM є суворо потужнішим.

— rici
джерело

З цим пов’язаний цікавий результат. Будь-яка машина Тьюринга , яка працює в

простір приймає регулярний мову.

o (\log \log n)

$o(\log \log n)$

— skankhunt42

@ skankhunt42, чому це?

— Бен І.

@ skankhunt42: Виправте мене, якщо я помиляюся, але ... будь-яка TM, яка працює в

пробіл, повинна працювати в

time. Але не важко показати, що будь-яка TM, яка працює в

час, визначає мову, яку також можна визначити за

час. Тоді є деяка константа

така, що перша

k \log \log n

$k \log \log n$

2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^{k} n)} = \log^{k} n

$2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^k n)} = \log^k n$

o (n)

$o(n)$

O (1)

$\mathcal O(1)$

c \in N

$c \in \mathbb N$

c

$c$ символи введення визначають, чи вводиться мова. Але тоді мова, очевидно, регулярна: просто включіть стан для кожного префікса в

. Я щось пропускаю? Де моя помилка?

⋃_{0 \leq i \leq c} {0, 1}^{i}

$\bigcup_{0 \leq i \leq c} \{ 0, 1 \}^i$

— wchargin

@Choirbean Це вимагає доказів, використовуючи схрещувальні послідовності. Ви можете подивитися його тут cs.stackexchange.com/questions/7372 / ... .

— skankhunt42

@wchargin Я думаю, що помилкою може бути твердження, що TM працює в

часовий

оскільки потрібно враховувати положення голови вхідної стрічки також під час підрахунку кількості конфігурацій. Так що , я думаю , що пробіги TM під час

2^{k \log \log n}

$2^{k \log \log n}$

n 2^{k \log \log n}

$n 2^{k \log \log n}$

— skankhunt42

Я думаю, що ми повинні спочатку зрозуміти опис машини та розмір вводу, щоб порівняння було лише дійсними об'єктами. Скажімо, N - вхідний розмір. Це означає, що машини матимуть ці ресурси.

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

Тепер тут більш виразним , ніж . Це просто тому, що рух і обмеження для обмежені . $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$

Тепер давайте зробимо невірне порівняння.

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A^{'} & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M \times 2^{N} & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f}^{'} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A'} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M \times 2^N & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell'_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

$\mathcal{A}'$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}'$ $N$ $\mathcal{A}$ $N$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{M}$

— Девендра Бхаве
джерело