Якщо P = NP, чому б

Мабуть, якщо , всі мови в за винятком та , будуть -повними.P ∅ Σ ∗ N ${\sf P}={\sf NP}$${\sf P}$$\emptyset$$\Sigma^*$${\sf NP}$

Чому саме ці дві мови? Чи не можемо ми зменшити будь-яку іншу мову в до них, видавши їх, приймаючи чи не приймаючи?${\sf P}$

Оскільки немає рядка в , будь-яка машина , яка обчислює завжди відкидає, тому ми не можемо відобразити Так-екземпляр інших проблем , ні до чого. Точно так же для Е * немає нічого на карту No-екземпляри.$\emptyset$$\Sigma^{\ast}$

Вам потрібно поліноміальний зведення від завдання до задачі B , якщо ви хочете , щоб довести , що B є «важче» , ніж A . Ми будуємо поліном скорочення шляхом перетворення будь-якого примірника х з A в екземпляр F ( х ) з B такі , що х ∈ тоді і тільки тоді F ( х ) ∈ B .$A$$B$$B$$A$$x$$A$$f(x)$$B$$x∈A$$f(x)∈B$

Функція повинна бути і може бути многочлена. Якщо Р = Н Р і проблема NP, то F сама може вирішити проблему А проблеми і код вставки будь-якого х ∈ в певний елемент у з B і будь-якого х ∉ в певний елемент г , що не перебуває у B .$f$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$f$$A$$x∈A$$y$$B$$x\notin A$$z$$B$

Якщо є або ∅ або Σ * , то у або г не може існувати, в іншому випадку міркування вище , показує , що B складніше , ніж A .$B$$∅$$Σ^*$$y$$z$$B$$A$

Лише зауваження: попередні відповіді в порядку, проте ви не надто далеко від правильного тривіального зменшення:

якщо то будь-який L ∈ N P - Карп, приведений до мови { 1 } (просто відображається в поліноміальний час кожні x ∈ L до 1, кожні x ∉ L до 0), що є тривіально рідкою мовою$\sf{P} = \sf{NP}$$L \in \sf{NP}$$\{1\}$$x \in L$$x \notin L$

Зворотний напрямок: "якщо повна мова Карпа приведена до розрідженого набору, тоді P = N P ", безумовно, цікавіше, і вона відома як теорема Махені :$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$

Нехай - константа, а A встановлюється таким, що для всіх n , A має максимум n c рядків довжиною n . Якщо є Н Р -повний , то Р = Н Р .$c$$A$$n$$A$$n^c$$n$$A$$\sf{NP}$$\sf{P}=\sf{NP}$