Як можна з | w | = | s | і ми будемо без контексту, а w # s - ні?

Чому (якщо так) сепаратор $\#$ чи є різниця між двома мовами?

Скажімо:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

Ось доказ і грамер, що представляє як$L$$CFL$

І нижче я додаю доказ для :$L_{\#} \notin CFL$

Чи дійсно знак має значення? якщо так, то чому це? а якщо ні, то яке із доказів невірно і де?$\#$

Доведення, що :$L_{\#} \notin CFL$

Припустимо, як протиріччя, що . Нехай - константа накачки для гарантована накачаною лемою для контекстних мов. Ми розглянемо слово , де , так . Оскільки , згідно з насосною лемою існує подання , таке, що , , і для кожного .$L ∈ CFL$$p > 0$$L$$s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$$m=p!+p$$s ∈ L$$|s| > p$$s = uvxyz$$|vy| > 0$$|vxy| ≤ p$$uv^{j}xy^{j} z ∈ L$$j ≥ 0$

Ми отримуємо протиріччя випадків:

• Якщо або містять : Тоді для ми отримуємо, що не містить , тому суперечить.$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$\#$$uxz \notin L$

• Якщо і і залишити до : Тоді для отримаємо, що має вигляд , де, Так .$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| < |x|$$uxz \notin L$

• Якщо і і мають рацію на : Подібно до останнього випадку.$v$$y$$\#$

• Якщо ліворуч , - праворуч до нього, а: Тоді при отримаємо, що має вигляд , де, Так .$v$$\#$$y$$|v| < |y|$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| > |x|$$uxz \notin L$

• Якщо ліворуч , - праворуч до нього, а: Подібно до останнього випадку.$v$$\#$$y$$|v| > |y|$

• Якщо ліворуч , - праворуч до нього, а: Це найцікавіший випадок. Оскільки , повинно міститися в частина , а в частини. Отже, це справедливо$v$$\#$$y$$|v| = |y|$$|vxy| ≤ p$$v$$1^{p}$$s$$y$$0^{p}$$v = 1^{k}$ і $y = 0^{k}$ за те саме $1 ≤ k ≤ p$ (насправді це повинно бути саме так $k < p/2$). Для кожного$j ≥ 0$, це справедливо $uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$, тож якщо так трапиться $m = p + j · k$, то це дотримується цього $uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$в суперечності. Щоб цього досягти, ми повинні взяти на себе$j = (m-p)/k$, що діє лише в тому випадку, якщо $m − p$ ділиться на $k$. Нагадаємо, що ми вибрали$m = p + p!$, тому $m − p = p!$, і $p!$ ділиться будь-яким $1 ≤ k ≤ p$ як хотілося.

Ваше підтвердження правильне, і я помилився. Мені знадобилося певний час, щоб прибити мою плутанину, але за допомогою Юваля я думаю, що це я зрозумів.

Розглянемо три мови

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

Як ми бачили тут ,$L_=$без контексту. Хитрість полягає в тому, щоб в граматиці генерувати символи "праворуч", але рахувати їх "ліворуч" пізніше (або навпаки), переконуючись, що символи невідповідності з’являються у відповідних позиціях. Умова довжини тривіальна, оскільки зменшується до рівної довжини.
Ви можете сконструювати NPDA з подібною ідеєю, використовуючи стек, щоб відповідати позиції.

$L_\#$ також без контексту . Доказ ще простіший: символи невідповідності відображаються на однаковій відстані від початку, відповідно. роздільник. Нерівні довжини можна перевірити окремо; недетермінізм "вибирає" між двома варіантами.

Тепер, як ви показуєте, $L_{=\#}$не є контекстним. Ось чому докази для двох інших мов виходять з ладу.

1. У граматиці для $L_=$, якщо нам доведеться генерувати роздільник в середині, ми не можемо "перепризначити" символи "зліва" на "праворуч".
2. Замість "прийняти, якщо довжини неоднакові або невідповідні", ми повинні "прийняти, якщо довжини рівні і невідповідні". Недетермінізм не може нам допомогти з і !

Отже, до чого воно зводиться, інтуїтивно, це умови форми "$x \neq y$"і"$|x| = |y|$"обидва є" без контексту "в тому сенсі, що їх можна перевірити стеком, але не використовуючи обмежене керування. Тому КПК може робити одне, але не те й інше.

КПК для $L_=$«Чіти» , так як це не реально перевірити ці умови$x$ і $y$; воно розбиває слово по-іншому. Це більше неможливо, якщо у вас є роздільник.

Додавання: Я сміливо стверджував , що$L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$тому що CFL закритий проти оберненого гомоморфізму. Хоча це правда$f(L_{=\#}) = L_=$ з $f$ особистість, за винятком її видалення $\#$, це не має значення. $f^{-1}(L_=) = L_\#$; нічого не можна сказати$L_{=\#}$.

Додаток II: Зауважте, що$L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$тривіально без контексту. Отже, с$L \cap L_\# = L_{=\#}$ у нас є хороший приклад того, що CFL не закривається проти перехрестя.