Оптимальна стратегія для абстрактної гри

Мені в інтерв'ю було надано таку проблему (яку я вже не вдалося вирішити, не намагаючись обдурити свій шлях минулого): Гра починається з натурального числа . (Наприклад ) Це число перетворюється на двійкове представлення, а - кількість бітів, встановлене на . (Наприклад , ) $A_0$ $A_0 = 1234$ $N$ $1$ $A_0 = b100\ 1101\ 0010$ $N = 5.$

Гравець 1 вибирає число менше . повинен мати лише один біт, встановлений на 1. (Наприклад, ) Нехай . (Наприклад ) Переміщення дійсне, якщо $B_0$ $A_0$ $B_0$ $B_0 = b10\ 0000\ 0000 = 512$ $A_1 = A_0 - B_0$ $A_1 = 1234-512 = 722 = b10 1101 0010$ $B_0$ задовольняє попередні обмеження, і якщо кількість бітів в по - , як і раніше дорівнює N . $A_1$

Гравець 2 продовжує з , вибираючи дійсний , потім гравець 1 продовжує з і так далі. Гравець програє, якщо у нього не залишилося дійсних кроків. $A_1$ $B_1$ $A_2$

Припускаючи, що обидва гравці грають оптимально, визначте гравця-переможця, використовуючи досить ефективний метод. (У моєму визначенні проблеми обмеження в цьому полягали в тому, що програма повинна мати можливість надати рішення для кількох мільйонів вхідних чисел, які вписуються в підписане 32-бітове ціле число.) Тобто рішення не повинно бути повністю аналітичний.

Моя особиста зацікавленість тут полягає у з'ясуванні, чи сподівання мене знайти та застосувати правильне рішення, без зворотного зв’язку щодо правильності за 120 хвилин, які мені дали, було розумним; або якщо це було одне з таких питань "давайте подивимось, чи бачили цю головоломку раніше".

Я не зміг, тому що я вирішив реалізувати те, що здавалося розумною стратегією, і це дало мені правильні результати для кількох тестових випадків, від яких мені відмовились, витрачала занадто багато часу, роблячи цей пробіг швидко, і в кінці передала неправильно повний вихід, як мій час закінчився.

З ретроспективою я мав би реалізувати грубі сили пошуку та запам'ятовували часткові рішення для невеликих стартових чисел, але задній огляд завжди 20/20. Мені цікаво, однак, якщо існує інший загальний підхід, який ухилявся від мене як флункі.

algorithms optimization

— мілімуз
джерело

З опису я не зрозумів, що вибрані рухи повинні мати один біт, встановлений на 1 (я вважав, що це лише частина прикладу).

— jjmontes

@jjmontes - Це вказано як перше правило для вибору числа B - всі приклади вказані як такі, все поза дужками загальне. Чи є у вас пропозиція, як це могло бути зрозуміліше?

— мільйозу

B_{0}

$B_0$

A_{0}

$A_0$

@Veedrac - Людина, якби я знав, що всі мої зусилля, спрямовані на те, щоб біт-біг бігав досить швидко, не був би марним. Відповідь, що пояснює, чому це працює, була б чудовою.

— мільйозу

@millimoose Bitcount є обладнанням для більшості сучасних процесорів!

— Ведрак

Відповіді:

$01$ $10$ $01$

$10 \rightarrow 01$

Тож єдиним визначальним фактором у грі є те, скільки потрібно замінити, щоб дістатися до стану, де всі праворуч, і стратегії виграшу чи програшу немає. Паритет кількості змін, які він здійснює, є єдиним визначальним фактором.

$1$

$i$ $1$ $1$ $0$ $1$ $k$ $k - i$

i = 0
k = 0
total = 0
while n > 0:
    if n & 1:
       total += k - i
       i += 1
    n >>= 1
    k += 1

total $O(\log n)$

— orlp
джерело

Це здається правильним, я натрапив на шматочки та фрагменти такого підходу після передачі. Здогадуюсь, я вчинив, стрибнувши пістолет, почавши кодування, і потрапив у забруднену в результаті погоню за дикими гусками.

— мільйозу

Якщо подумати про це, той факт, що стратегія не має значення, означає, що у мене є або досить незрозуміла помилка в моїй реалізації, або вона мала б дати ті ж результати, що і будь-яка інша реалізація, яка грає в гру правильно ...

— millimoose

Один із способів вирішити таку проблему полягає в наступному:

Знайдіть рішення для кількох простих значень, використовуючи запропонований вами підхід «запам'ятована груба сила».
Відгадайте відповідь (які позиції виграють, а які програють).
Спробуйте довести свою відповідь. Якщо вам це вдасться, чудово. В іншому випадку спробуйте знайти контрприклад і скористайтеся ним, щоб відгадати іншу відповідь. Тут може бути корисно вирішити ще кілька справ.

Справді важко сказати, скільки часу займає. Однак в інтерв'ю від вас не обов’язково розраховувати знайти рішення. Швидше інтерв'юери хочуть знати, як ви підійшли до вирішення проблеми та який прогрес вам вдалося досягти.

— Юваль Фільм
джерело

Так, ні, вони відхилили мене, тому що мій вихід був невірним, і мені не вистачало часу.

— мільйозу

Запам'ятований підхід грубої сили був би правильним, оскільки не потребує ярликів щодо стратегії. Однак це також - я вважав - було б нестерпно повільним, і запам'ятовування, можливо, було б надто багато роботи на вершині, можливо, не багато допомоги, не використовуючи дурних обсягів пам'яті. А може й ні, я спробую це пізніше просто очистити це від своєї системи.

— мільйозу

Зауважте з відповіді @ orlp, що ми хочемо, щоб парність суми переміщень від початкової позиції до кінцевої позиції. Давайте зазначимо це:

       9876543210
       9 76 4  1    (positions at start)
start: 1011010010
end:   0000011111
            43210   (positions at end)

Так ми хочемо

  ((1 - 0) + (4 - 1) + (6 - 2) + (7 - 3) + (9 - 4)) & 1
= ((1 + 4 + 6 + 7 + 9) - (0 + 1 + 2 + 3 + 4)) & 1
= ((1 + 0 + 0 + 1 + 1) - (0 + 1 + 0 + 1 + 0)) & 1

Перша частина - це лише співвідношення кількості бітів у непарних позиціях. Ви можете замаскувати це, взявши максимальне непідписане ціле число, розділивши на 0b11 і відкинувши.

= (bitcount(x & ~(UINT_MAX / 0b11)) ^ (0 + 1 + 0 + 1 + 0)) & 1

Друга частина - це парність половини кількості бітів в x.

= (bitcount(x & ~(UINT_MAX / 0b11)) ^ (bitcount(x) >> 1)) & 1

bitcountможе або використовувати popcntінструкцію з обладнання , або може бути реалізована вручну, використовуючи, що потрібен лише останній або другий біт, з швидкими скороченнями, як це .

— Ведрак
джерело