Максимізація опуклої функції з лінійним обмеженням

maximize f (x) subject to A x = b

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

де

f (x) = \sum_{i = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{x_{i}^{4}}{{(\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

і . $\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Ми можемо бачити, що опукла і виглядає $f$ . Можна також показати, щообмежений у $\sqrt{1+y^2}$ $f$ . Я знаю, що проблема опуклої максимізації загалом є важкою. $[\sqrt{2}, 2]$

Однак, використовуючи специфічний характер проблеми, чи можна її вирішити за допомогою будь-якого стандартного програмного пакета / пакета для опуклої оптимізації?

optimization

— Sooraj
джерело

Є два підсумки, одне всередині іншого, які використовують ту саму "циклічну змінну"

. З контексту здається зрозумілим, яке використання

є, але будь ласка, виправте для ясності.

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

Так, опукла оптимізація з обмеженням рівності є NP-Hard загалом. Однак існують зрілі методи, які знаходять дуже приємні приблизні рішення для опуклих задач оптимізації, як-от Coordinate Descent.

$k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

Тоді ми ітеративно фіксуємо координату nk-1 і вдосконалюємо рішення, поки не буде знайдено приблизно оптимального.

— Стрин
джерело

@RodrigodeAzevedo: Це не протиріччя чи дивно, що LP, особливий випадок опуклої оптимізації, простіше, ніж загальний випадок.

— j_random_hacker