Який найшвидший алгоритм пошуку всіх найкоротших шляхів у розрізненому графіку?

24

У невагомому, непрямому графіку з вершинами та ребрами таким чином, що , який найшвидший спосіб знайти усі найкоротші шляхи у графі? Чи можна це зробити швидше, ніж Флойд-Варшалл, який є але дуже швидкий за ітерацію? $V$ $E$ $2V \gt E$ $O(V^3)$

Як щодо того, якщо графік зважений?

algorithms graphs shortest-path

— Якоб Вайсблат
джерело

32

Оскільки це невагомий графік, ви можете запустити пошук першого ширини (BFS) з кожної вершини $v$ графіка. Кожен запуск BFS дає вам найкоротші відстані (і шляхи) від стартової вершини до кожної іншої вершини. Часова складність для одного BFS становить $O(V + E) = O(V)$ оскільки $E = O(V)$ у вашому розрідженому графіку. Виконання її $V$ разів дає складність у часі $O(V^2)$ .

Для зваженого спрямованого графіка алгоритм Джонсона, запропонований Ювалом, є найшвидшим для розріджених графіків. Це займає $O(V^2\log V + VE)$ що у вашому випадку виявляється $O(V^2\log V)$ . Для зваженого ненаправленого графіка можна або запустити алгоритм Дейкстривід кожного вузла або замініть кожен непрямий край на два протилежні спрямовані ребра та запустіть алгоритм Джонсона. І те й інше дасть ті самі асимптотичні часи, що й алгоритм Джонсона, наведений вище, для вашого рідкого випадку. Також зауважте, що підхід BFS, який я згадую вище, працює як для спрямованих, так і для непрямих графіків.

— Paresh
джерело

7

Існує алгоритм Джонсона , час роботи якого . $O(V^2\log V + VE)$

— Юваль Фільм
джерело

7

Ви можете спробувати зробити версію Floyd-Warshall, яка швидша на рідких матрицях.

Спочатку згадаймо, що робить цей алгоритм:

Нехай - матриця відстаней. На початку алгоритму - вага ребра . Якщо цього краю не існує, тоді . $M$ $M_{i,j}$ $i \rightarrow j$ $M_{i,j}=\infty$

Алгоритм має кроків. На кроці алгоритму для кожної пари вузлів ми встановимо $V$ $k$ $i,j$

M_{i, j} \leftarrow min {M_{i, j}, M_{i, k} + M_{k, j}} .

$M_{i,j} \leftarrow \min\{M_{i,j}, M_{i,k}+M_{k,j}\}.$

Зрозуміло, що якщо або то оновлення не потрібно проводити. Таким чином, на перших кроках алгоритму нам потрібно лише виконати грубо порівняння, де і позначають кількість вхідних та вихідних ребер -го вузла відповідно. По мірі просування алгоритму заповнюється все більше записів матриціОтже, останні кроки можуть зайняти набагато більше часу. $M_{i,k}=\infty$ $M_{k,j}=\infty$ $deg_{in}(k) \cdot deg_{out}(k)$ $deg_{in}(k)$ $deg_{out}(k)$ $k$ $M$

$k$

$E=O(V)$ $k=0$ $O(1)$ $M$ $O(V)$ $k=|V|$ $O(V^2)$ $O(V^3)$

— Аміт Москович
джерело