Машини з випадковим доступом лише з додаванням, множенням, рівністю

У літературі досить ясно, що оперативні пам’яті з одиничною вартістю з примітивним множенням є необґрунтованими, оскільки вони

не може бути змодельована машинами Тьюрінга в поліноміальний час
може вирішити повні проблеми PSPACE в поліноміальний час

Однак усі посилання, які я можу знайти на цю тему (Simon 1974, Schonhage 1979), також включають булеві операції, ціле поділ тощо.

Чи існують якісь результати для «розумності» ОЗУ, які мають лише додавання, множення та рівність? Іншими словами, у яких немає булевих операцій, усічене ціле ділення, усічене віднімання тощо?

Можна було б подумати, що такі оперативні пам’яті все ще є досить «необґрунтованими». Основний червоний прапор полягає в тому, що вони дають змогу генерувати експоненціально великі цілі числа в лінійний час, і через наслідки згортання множення це може стати особливо складним. Однак я фактично не можу знайти жодних результатів, що свідчать про те, що це дозволяє отримати будь-який "необґрунтований" результат (експоненціальна швидкість машини Тьюрінга, необгрунтоване відношення до PSPACE тощо).

Чи є в літературі якісь результати з цієї теми?

— Майк Батталья
джерело

Ювал Філімус має коротку записку, в якій підсумовується, як вирішити будь-яку проблему в НП (і я думаю, будь-яка проблема в PSPACE?) За час поліному, використовуючи оперативні пам’яті з одиницею. Можливо, він опублікує посилання на це, і ви можете переглянути там методи, щоб побачити, чи можна їх узагальнити, щоб усунути потребу в поділі.

— DW

Чи можете ви придумати спосіб обчислити число , де - мала константа у вашій моделі, використовуючи поліном часу в ? Іншими словами, ми хочемо обчислити . Це можна зробити в многочлени за часом у і якщо ми дозволити поділ, але чи можна це зробити без ділення? Якщо це можливо, я підозрюю, що подібні результати також застосовуватимуться до вашої моделі.

\sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} 2^{c i}

$\sum_{i=0}^{2^n-1} 2^{ci}$

c

$c$

n, c

$n,c$

(2^{c 2^{n}} - 1) / (2^{c} - 1)

$(2^{c 2^n}-1)/(2^c-1)$

n

$n$

c

$c$

— DW

Чи знаєте ви, де ця записка? Я бачив, що література про оперативні пам'яті на одиницю вартості є нерозумно потужною, коли дозволені булі операції, і усічене ділення (або зсув), при цьому булеві операції та усічення в основному перетворюють всю річ у величезний паралельний пристрій. Але десь має бути якийсь результат, який показує, що навіть просто множення вартості одиниць є "необґрунтованим" без інших речей, тому що, як було сказано, ви можете швидко обчислити числа з більшою кількістю цифр, ніж міститься у спостережуваному Всесвіті. Але я не можу знайти доказ цього.

— Майк Батталья

@DW У моїй записці показано, як вирішити всі проблеми в PSPACE в поліноміальний час. На жаль, вам потрібно використовувати побітові оператори (побітові І і АБО; два еквівалентні). У той час я коротко подумав над тим самим питанням, яке ви задаєте, але не дійшов висновку. Ви можете знайти все це тут , хоча, здається, ви це вже знаєте.

— Yuval Filmus

Спасибі - справді це бачили. Мені здається, мені цікаво, як це не могло бути так, що немає прискорення з просто множенням? Ви можете постійно тримати квадратичні цифри для отримання експоненціально великих, дуже складних візерунків, які здаються божевільними для машини Тьюрінга, яка виробляється за багаточлен. Чи не може бути якийсь аргумент зростання, який ви можете зробити, оскільки, здається, ми використовуємо експоненціальний простір у лінійному часі (порушуючи )? Ці проблеми не стосуються додавання одиничної вартості, а лише множення.

P \in PSPACE

$\text{P} \in \text{PSPACE}$

— Майк Батталья

Днями я читав статтю про паралелізовані машини з випадковим доступом без бітних операцій, що звучало дуже схоже на те, що ви описуєте. Для цих моделей NC, як відомо, не дорівнює P. Дивіться тут: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0097539794282930

Документ також можна знайти на веб-сайті професора Малмулі.

— ексфрет
джерело