Чому ми робимо ізоморфізм, автоморфізм та гомоморфізм?

13

Які ключові відмінності між цими трьома термінами ізоморфізм, автоморфізм та гомоморфізм у простій мові мирян і чому ми робимо ізоморфізм, автоматизм та гомоморфізм?

graph-theory

— Xara
джерело

18

Ізоморфізм формалізує поняття рівних графіків. Наприклад, на цій фігурі ви бачите три ізоморфні графіки введіть тут опис зображення

Більш формально, ізоморфізм графіків і є біекцією що зберігає суміжність. Інакше кажучи: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

Не важко знайти таку біекцію для кожної пари графіків на малюнку.

Тепер, якщо то отримане відображення перетворюється на автоморфізм - ізоморфізм від графіка до самого себе. $G_1 = G_2$

Ви можете запитати, що таке інтуїтивне поняття графоморфізму, і відповідь полягає в тому, що він дає вам якусь інформацію про те, які вершини "еквівалентні" в графіку. Іншими словами, якщо є графік графа такий, що вершина відображається у вершину то таким чином сусідство і "виглядає" однаково. $f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

Це в свою чергу призводить до поняття симетрії графа . Графік як кажуть, є перехідним для вершин якщо для кожної пари вершин існує автоматифізм такий що Прикладом вершинно-перехідного графа є граф Петерсена $G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ введіть тут опис зображення

і як ви бачите, графіки "виглядають" досить симетрично. Саме тому, що в ньому є "багато" автоматизмів описаного типу.

Графічні гомоморфізми зазвичай не вивчаються мирянином і мають більш-менш теоретичні цілі. Наприклад, вони тісно пов'язані з поняттям вершинних забарвлень. Дивіться також Конвенцію Хадвігера

— Jernej
джерело

1

... гомоморфізми зазвичай не вивчають миряни ... веселі! +1

— Pratik Deoghare

8

У контексті теорії графів гомоморфізм - це відображення між двома графами, які відображають суміжні вершини в до сусідніх вершин у . Іншими словами, для кожного краю , край . Гомоморфізм графа має на увазі багато властивостей, включаючи результати фарбування графіків. $h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

Тепер графічний ізоморфізм - це бієктивний гомоморфізм, тобто його зворотний - це також гомоморфізм. Якщо два графіки є ізоморфними, то вони по суті є тим самим графіком, лише з відновленням вершин. Проблема визначення того, чи є два графіки один від одного ізоморфними, є важливою проблемою в теорії складності.

Нарешті, автоморфізм - це ізоморфізм від графіка до самого себе.

— Марк Хоурі
джерело