Покриття сітки прямокутниками

У нас є сітка $N_1 \times N_2$ . У нас є колекція прямокутників на цій сітці, кожен прямокутник може бути представлений у вигляді бінарної матриці $N_1$ -by- $N_2$ $R$ . Ми хочемо покрити сітку тими прямокутниками.

Чи завершена версія рішення цього набору для вирішення проблеми NP?

Введення: Колекція $\mathcal{C}=\{R_1,R_2,\dots,R_L\}$ прямокутників на сітці (розмір вводу: $N_1N_2L$ ) і $K \in \mathbb{N}^+$
Вихід: Підмножина $\mathcal{S}\subset\mathcal{C}$ з $|\mathcal{S}|\leq K$ і $\mathcal{S}$ що містять для кожної комірки щонайменше один прямокутник, що покриває її.

Я виявив, що 1D випадок ( $N_2=1$ ) може бути вирішений в поліноміальний час за допомогою динамічного програмування: будь-яке оптимальне покриття буде об'єднанням

оптимальне покриття для деякої підпроблеми покриття першого $N_1-n_1$ комірок .
1D прямокутник, тобто інтервал, що охоплює залишки комірок. $n_1$

Я не думаю, що проте DP може працювати для 2D проблеми: для 1D проблеми у вас є підпроблеми для вирішення, але для 2D у вас є $N_1$ підпроблеми (кількість решіток решітки Північно-Східної сітки). $\binom{N_1+N_2}{N_2}$

Я думаю, що проблема може бути NP, але я не впевнений (хоча це здається складніше, ніж P), і мені не вдалося знайти поліноміальне зменшення від NP-повної проблеми (3-SAT, Vertex Cover, ...)

Будь-яка допомога чи підказка вітається.

complexity-theory np-complete set-cover

— Янна
джерело

Підказка: шукайте скорочення від Vertex Cover, в якому ми створюємо

за

сітка блоків, кожен з яких являє собою 3 на 3 блок матричних елементів. Кожен ряд блоків відповідає ребру і міститиме 2 спеціально розроблені блоки, що відповідають його кінцевим вершинам. Для кожної вершини буде висота -

, прямокутник шириною-1, який проходить через центральний стовпчик стовпця 3-х-3-х блоків, що відповідає цій вершині. Як ви можете змусити загальну суму будь-якого дійсного покриття

-vertex точно

| E |

$|E|$

| V |

$|V|$

3 | E |

$3|E|$

k

$k$

? (Вам знадобляться інші прямокутники.)

| E | (| V | + 3) + k

$|E|(|V|+3)+k$

— j_random_hacker

Я думаю, що це, мабуть, вправа на домашнє завдання, тому я поки що небажано сказати набагато більше, ніж це. Формула витрат, яку я дав, містить у собі деякі підказки. Майте на увазі, що ви можете примусити принаймні 1 з декількох прямокутників, зробивши їх єдиними прямокутниками, які охоплюють якийсь елемент матриці (корисний також окремий випадок із 1 прямокутника). FWIW, я також спробував використовувати

-бі-

спершу сітка, де вибір вершини відповідав би "перекреслюванню" рядка та відповідного стовпця, але не міг зрозуміти, як змусити вибирати

-й стовпець, коли вибрано

-й ряд або навпаки.

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

У мене була така ж проблема з

-бі-

сітка. Я думаю, я бачу, яке рішення ви маєте на увазі (хоча у мене немає точно такої самої формули витрат), дивіться мою редагування. До речі, це не вправа в домашніх умовах. Це комбінаторна проблема, яка опинилася в реальній інженерній проблемі. Ми вирішуємо це за допомогою MIP, але я хотів бути впевненим, що проблема була NP (і не мала рішення для поліномів). У будь-якому випадку, якщо ви підтвердите, що рішення є правильним, ви можете поставити підказку як відповідь, і я підтверджу його (оскільки я знайшов рішення з вашою допомогою).

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

— Янв

Так, це майже саме зниження, яке я мав на увазі! :) Я зробив ваші прямокутники типу "4" трохи довше на одному кінці: там, де ваша займає 2 комірки в блоці, моя займає всі 3. Замість спеціальних прямокутників типу "тип 3" для кінцевих блоків я використовую весь верхній ряд, просто як "тип 2" прямокутники для

. Нарешті, у мене є прямокутник, що займає ліві по центру та внизу ліві клітинки в межах кожного лівого кінцевого блоку (горизонтально перевернутий для кожного правого кінцевого блоку). Таким чином, ви можете охопити нижню 2 рядок усіх блоків, включаючи та між кінцевими блоками, використовуючи a або візерунок.

a < j < b

$a < j < b$ |==|

— j_random_hacker

Мені подобається твій

-по-

ідея скорочення. З цим, на відміну від

-по-

скорочення, можуть бути рішення з мінімальними витратами, які не відповідають обкладинці вершин, але всі такі рішення можуть бути перетворені на рівні (що мінімум) рішення витрат, використовуючи той же аргумент, що і в останньому пункті, тому це не проблема для зменшення :)

| E |

$|E|$

3 | V |

$3|V|$

3 | E |

$3|E|$

3 | V |

$3|V|$

— j_random_hacker

Завдяки натяку j_random_hacker, я знайшов рішення зменшити обкладинку вершини до проблеми сітки:

Складаємо -бі- сітка 3-х-3 блоків, тобто -по- сітка з вершинами, упорядкованими у вигляді стовпців та ребрами, упорядкованими у вигляді рядків . Ми побудуємо прямокутники на цій сітці (креслення нижче допоможе багато зрозуміти різні використовувані прямокутники) $|E|$ $|V|$ $3|E|$ $3|V|$ $\{v_1,\dots,v_{N_1}\}$ $\{e_1,\dots,e_{N_2}\}$

$|V|$

$(e_i,v_j)$ $e_i=(v_a,v_b)$

$j<a$ $b<j$
$j=a$ $j=b$ ), це покриття прямокутника 3 на 1 лівого (відповідно правого) стовпця блоку.
$a<j<b$

$|E||V|$ прямокутників типу 2, ці прямокутники обов'язково вибирати, оскільки кожен буде єдиною кришкою для верхнього лівого (або верхнього правого) кута блоку, в якому він знаходиться.

$(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

$(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

$2|E|$

Тепер для кожного краю будуємо прямокутники типу 4, між кінцевими блоками ми маємо два прямокутники для другого ряду:

Один йде від центральної площі першого блоку до центрально-лівого квадрата другого блоку.
Один йде від центральної правої площі першого блоку до центральної площі другого блоку.
І ті ж два прямокутники для третього ряду.

$4|E|$

Отже, тепер для покриття сітки:

$|E|(|V|+2)$ $|V|+4|E|$

Щоб покрити для даного краю частину між крайніми кінцевими блоками, ще не накритими (другий та третій ряди ряду блоків), ми можемо використовувати:

чотири прямокутника типу 4.
один прямокутник типу 1 та два прямокутники типу 4.

Зауважте, що в будь-якому випадку нам потрібні принаймні два прямокутники типу 4.

$|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+2)$
$|E|(|V|+4) + k$ $|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+6) + |V|$ $9|V||E|$

$|E|$ $3|V|$ $|V|+4|E|$ $3|E|+k$

— Янна
джерело