Чому журнал у великому-O двійкового пошуку не є базовим 2?

35

Я новачок у розумінні алгоритмів інформатики. Я розумію процес бінарного пошуку, але у мене є незначне непорозуміння з його ефективністю.

За розміром елементів знадобиться, в середньому, кроків, щоб знайти певний елемент. Приймаючи логарифм основи 2 з обох сторін, виходить . Так що не було б середню кількість кроків для алгоритму двійкового пошуку буде ? $s = 2^n$ $n$ $\log_2(s) = n$ $\log_2(s)$

Ця стаття у Вікіпедії про алгоритм двійкового пошуку говорить про те, що середня продуктивність - . Чому це так? Чому цей числа ? $O(\log n)$ $\log_2(n)$

algorithms runtime-analysis binary-search

— DrPepper
джерело

2

Дублікат на SO - Чи є база журналів Big O (logn) e?

— Герцогство

86

Коли ви змінюєте основу логарифму, отриманий вираз відрізняється лише постійним коефіцієнтом, який за визначенням нотації Big-O означає, що обидві функції належать до одного класу щодо їх асимптотичної поведінки.

Наприклад, де

{журнал}_{10} н = \frac{{журнал}_{2} н}{{журнал}_{2} 10} = С {журнал}_{2} н

$\log_{10}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}10} = C \log_{2}{n}$

.

C = \frac{1}{\log_{2} 10}

$C = \frac{1}{\log_{2}10}$

Отже, і відрізняються постійною , а значить, і те і інше: $\log_{10}n$ $\log_{2}n$ $C$

{журнал}_{10} н є О ({журнал}_{2} н)

$\log_{10}n \text{ is } O(\log_{2}n)$

Загалом

є

для натуральних чисел

і

більших за 1.

{журнал}_{2} н є О ({журнал}_{10} н)

$\log_{2}n \text{ is } O(\log_{10}n)$

\log_{a} n

$\log_{a}{n}$

O (\log_{b} n)

$O(\log_{b}{n})$

a

$a$

b

$b$

Ще один цікавий факт з логарифмічними функціями полягає в тому, що при постійному , є , але є $k>1$ $n^k$ $O(n)$ $\log{n^k}$ оскільки який відрізняється від лише постійною коефіцієнт . $O(\log{n})$ $\log{n^k} = k\log{n}$ $\log{n}$ $k$

— fade2black
джерело

Не тільки для натуральних чисел: для всіх дійсних

, наприклад,

.

a, b > 1

$a,b > 1$

e

$e$

— nbubis

2

Я додам, що це причина, чому для позначення big-O основу логарифму зазвичай не визначають. Це також означає, що немає плутанини щодо того, яку базу

використовує: вона може бути будь-якою із часто використовуваних баз , оскільки це не має значення.

O (\log n)

$O(\log n)$

— svick

9

$\log(n)$ $e$ $\log$

Але, як уже було показано, в цьому випадку це не має значення.

— MattPutnam
джерело

7

Мабуть далі варто зауважити, що, хоча "log (n)" може бути неоднозначним, що "O (log (n))" є не тому, що останній має лише одне значення, незалежно від того, про яку базу ви б не думали.

— Кріс