Алгоритми обчислення, якщо число кратне 3

13

Роблячи розумовий аналіз, можна:

Давши ціле k, підсумовуйте всі цифри (в базі 10), і якщо результат кратний 3, то k кратне 3.

Чи знаєте ви, що алгоритм працює аналогічно, але працює на двійкових цифрах (бітах)?

Спочатку я думав використати готові функції моєї мови для перетворення цілого числа в ascii для здійснення перетворення з бази 2 в базу 10, а потім застосувати трюк розумового числення. Але, звичайно, тоді я також міг би сам закодувати базову конверсію 2 до 10. Я ще цього не зробив, але спробую.
Тоді я подумав про евклідовий поділ у базі 2 ...

Однак мені цікаво, чи існують інші засоби, алгоритми.

algorithms

— Стефан Ролланд
джерело

2

Вам може бути цікаво: Дизайн DFA, що приймає двійкові рядки, розділені на число "n"

— Grijesh Chauhan

22

Розглянемо наступні два спостереження (залишені читачем як вправа):

Рівні сили двох - 1 модуль 3.
Непарні сили двох - -1 модуль 3.

Ми робимо висновок, що число (у двійковій) ділиться на три, якщо і лише тоді, коли сума бітів у парних позиціях дорівнює сумі бітів у непарних позиціях за модулем 3.

— мум
джерело

7

Це як правило, щоб ділити на 11 у десятковій частині.

— Yuval Filmus

1

@YuvalFilmus: Точно. Я збирався додати ще одну вправу для читача, але вирішив проти.

— mhum

3

Добре, а як дізнатися, чи число, записане шістнадцяткою, ділиться на 17 (десятковий)? Або 15 (десятковий) з цього питання? ;-)

— фонбранд

33

А як щодо автоматичного обмеженого стану для роботи?

введіть тут опис зображення

Звичайно, магія просто обчислення по модулю 3. Додавання символу за рядком означає «двійкове значення» рядок йде від для до для . Отже, із стану та символу переходимо до стану , для та . Примітка - це рядок, wheras - це її значення у вигляді двійкового рядка. $a$ $x$ $val(x)$ $x$ $2\cdot val(x)+a$ $xa$ $p$ $a$ $2p+a \bmod 3$ $p\in \{0,1,2\}$ $a\in \{0,1\}$ $x\in \{0,1\}^*$ $val(x)\in \Bbb{N}$

— Гендрік Ян
джерело

1

Мені подобається ідея, спробуємо з 9. Я подаю 1001 у двійковій формі. Перший біт надішліть мені до state1, потім state2, тоді state1, а потім назад до state0. Отже, state0 кратно 3. А складність алгоритму - це кількість використаних бітів, не більше того. Це приголомшливо !

— Стефан Ролланд

Чи пов’язана ця концепція у посиланні? Я думаю, що це простіше. geomathry.wordpress.com/2017/02/13/0-1-and-a-new-number

1

@WaqarAhmad Так, пов'язано, не простіше. Переходи в кінцевому автоматі також можна використовувати для опису оцінки L2R, як у вашому поясненні. Переходи визначають , , , , , . Тут у нас є три стани, тому три символи для держав необхідні. Ваші символи - це оцінки чисел за модулем відповідно, а перший символ у вашій оцінці L2R - це "стан". Якщо ви хочете обговорення, можливо, краще почати нове запитання на сайті!

\bar{0} 0 = \bar{0}

$\bar00=\bar0$

\bar{0} 1 = \bar{1}

$\bar01=\bar1$

\bar{1} 0 = \bar{2}

$\bar10=\bar2$

\bar{1} 1 = \bar{0}

$\bar11=\bar0$

\bar{2} 0 = \bar{1}

$\bar20=\bar1$

\bar{2} 1 = \bar{2}

$\bar21=\bar2$

Θ, 1, 0

$\Theta,1,0$

1, 2, 0

$1,2,0$

— Гендрік Ян

Не про програмування. Чи буде ця річ ефективнішою у потрійному комп’ютері?

4

У двійкових числах 1, 100, 10000 (= 100 × 100), 1000000 (= 100 × 100 × 100) і т. Д. Всі дають однаковий залишок після ділення на 11 (три). Тому, якщо ми розділимо двійкове число на частини парної довжини , сума частин дає такий самий залишок, що і вихідне число.

(Розбиваючи число, ми додаємо стільки нулів, скільки потрібно для початку . Наприклад, ми розділимо 10111 на групи 01,01,11 або 0001,0111.)

Математично просто розділіть число на групи з двох цифр, а потім додайте групи; і повторюйте це, поки ваш результат не стане 00 або 11 = початкове число було кратним три; або 01 або 10 = початкове число не було кратним три.

Для комп'ютерної програми використання груп з восьми або шістдесяти або тридцяти двох бітів може бути швидшим для вашого процесора. Наприклад, якщо восьмибітове додавання найшвидше, просто складіть суму всіх байтів, і ще раз, поки результат не впишеться в один байт. Потім скористайтеся однією інструкцією для визначення залишків після ділення на три.

(Примітка. Ми припускаємо тут непідписані цілі числа. З підписаним числом потрібно трохи більше уваги. Наприклад, 129 кратне 3, але -127 - ні, хоча біти 10000001 означають для колишніх як безпідписаний байт і останній як підписаний байт.)

— Віліам Бур
джерело

0

Хоча це не бінарне специфічне, коли сумніваєтесь, повторне віднімання завжди є вірним способом обчислити ділення з залишками (і, таким чином, якщо число кратне 3).

— дміти
джерело

2

Повторне віднімання - погана ідея. Ділення з залишками набагато швидше.

— Yuval Filmus

3

напевно, дійсно дуже дорого коштує процесор, але це інший алгоритм :-), який не заслуговує -1 :-(

— Стефан Роллан