Черга пріоритетів для частково впорядкованих пріоритетів з інфімою

У мене є деякі об'єкти з пріоритетом, які є складним типом і лише частково впорядковані . Мені потрібно вибирати об'єкти в порядку цього пріоритету (тобто щомісяця отримувати мінімальний предмет). Але замість того, щоб довільно виконувати замовлення, я вважаю за краще, якщо б черга була стабільною в сенсі, що якщо є більше одного мінімального елемента, він повинен повернути перший найстаріший.

Чи є якась структура даних купи, яка б працювала з частковим упорядкуванням? Або модифікація чергової черги пріоритетів для роботи з нею? Поширений вибір алгоритму, який мені потрібен, - це проста двійкова або 4-х аркова купа, але це не працює з частковим упорядкуванням.

Підтримка значень пріоритету:

1. a ≼ b b ≼ a a ⋚ ̸ $\preccurlyeq$$a \preccurlyeq b$$b \preccurlyeq a$$a \not\lesseqgtr b$
2. Знаходження інфіми (glb) і верховенства (луб). $\inf(x_i)$ - максимальний $y$ такий, що $y \preccurlyeq x_i$ . Обчислення мінімальних $n$ значень займає $O(n)$ час. Мінімальний (і супремум) кожного набору існує.
3. Можна було б визначити лінійне розширення для часткового впорядкування. Використовувати його для черги пріоритетів - це простий вихід, оскільки алгоритм працює таким чином. Але порядок впливає на продуктивність, і порядок вставки виглядає так, як слід найкраще уникати гірших випадків.

Крім того, алгоритм, який я хочу використовувати це, повинен знати максимум усіх пріоритетів у черзі.

Пріоритети мають певне значення в реальному світі, але вони можуть змінюватися, тому, здається, не можна покластися на інші властивості, які вони могли мати.

---

Примітка: Бінарні купи не працюють з частковим упорядкуванням. Припустимо бінарну купу з $a$ , $b$ і $c$ , де $a \preccurlyeq c$ і $a \not\lesseqgtr b$ і $a \not\lesseqgtr c$ . Вони розташовані в такому порядку, так

     a (0)
   /   \
 b (1)   c (2)

тепер вставляється d . Наступна вільна позиція - 3, ліва дитина $b$ , тому ми отримуємо

        a (0)
      /   \
    b (1)   c (2)
  /
d (3)

Якщо (що означає від транзитивності, але нічого не говорить про і ) і , то не на , тому що це не менше. Але насправді це менше, ніж , але це не порівняно з ним, тому зараз головна купа інваріант не тримає; верх не мінімальний.d ≼ c d b d ⋚ ̸ b d b $d \preccurlyeq a$$d \preccurlyeq c$$d$$b$$d \not\lesseqgtr b$$d$$b$$a$

Я підозрюю, що ліс купи може бути досягнутий у стилі біноміальної купи. В основному важливо завжди порівнювати нові значення з коренем і лише зв'язувати між собою порівнювані елементи. Це зробило б дерева в лісі випадковим розміром і, таким чином, зробило б складність залежною від кількості взаємно незрівнянних наборів у купі. Я дещо підозрюю, що складність неможливо виправити (ми повинні продовжувати порівнювати, поки ми не потрапимо на порівнянний елемент), можливо, я щось пропустив, тому я залишаю це відкритим.

---

Примітка. Упорядкування є частковим, і хоча існують способи визначення лінійних розширень для нього, додавання часової позначки та використання її як вторинного критерію не є одним із них. Припустимо, ми призначили часову для кожного і визначили впорядкування як iff або ( і . Тоді припустимо, що у нас є різні , , , такі, що і . Тоді і$t(a)$$a$$\preccurlyeq'$$a \preccurlyeq' b$$a \preccurlyeq b$$b \not\preccurlyeq a$$t(a) \le t(b)$$a$$b$$c$$t(a) \le t(b) \le t(c)$$c \le a$$a \preccurlyeq' b$$b \preccurlyeq' c$ , але , тому відношення не є перехідним і тому зовсім не є впорядкуванням. Цей вид розширення працює лише для слабких замовлень, але не для часткових.$c \preccurlyeq' a$

---

Редагувати: Я зрозумів, що визначається не лише інфінімальність будь-якого набору, але мені фактично потрібно вміти ефективно отримувати infimum елементів, що знаходяться в черзі. Тому я зараз замислююся про те, чи допоможе додавання спеціальних вузлів, що містять infima підрядів, до якоїсь загальної структури купи.

Хоча точна проблема, поставлена ​​в оригінальному питанні, здається складною (і мені було б цікаво вирішити цю проблему, особливо частину пошуку інфіми). Я просто хотів зазначити, що якщо частково впорядкований набір дійсно складається з векторів, що використовують замовлення на продукт, і якщо цього достатньо лише мати гарантію, що черга пріоритету повертає значення в порядку, "сумісному" з частковим порядком ( тобто менші елементи завжди повертаються перед більшими елементами), тоді є досить простий спосіб зробити це.

По суті, ідея полягає у пошуку топологічного упорядкування частково упорядкованого набору. Тобто загальний порядок ' ' такий, що . Для векторів, що використовують замовлення товару, це досить просто: просто використовуйте лексикографічний порядок ' ', де перший "компонент" - це сума всіх компонентів, що використовуються для замовлення товару (решта компонентів по суті довільна, щоб ви могли також дотримуватися слабкого порядку). Тоді ми можемо побачити, що і a ≤ $\le_T$≤ S a < $\mathbf{a}\le\mathbf{b}\implies \mathbf{a}\le_T\mathbf{b}$$\le_S$a =

$$\mathbf{a}<\mathbf{b}\implies \forall_i(a_i\le b_i)\text{ and }\exists_i(a_i<b_i)\implies(\sum_i a_i)<(\sum_i b_i)\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b}$$ $$\mathbf{a}=\mathbf{b}\implies \forall_i(a_i=b_i)\implies(\sum_i a_i)=(\sum_i b_i)\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b},$$ і таким чином що . Таким чином, ми можемо використовувати це замовлення з чергою з пріоритетом і бути впевненими, що більш дрібні елементи (у порядку товару) завжди будуть витягнуті перед більшіми елементами.$\mathbf{a}\le\mathbf{b}\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b}$

Що не так у тому, щоб завершити часткове замовлення?

Але замість того, щоб довільно виконувати замовлення, я вважаю за краще, якщо б черга була стабільною в сенсі, що якщо є більше одного мінімального елемента, він повинен повернути перший найстаріший.

Якщо ви віддаєте перевагу "найстаріший перший", то ваше замовлення фактично завершено; «незрівнянні» предмети можна порівняти за віком.

Додайте позначку часу (або будь-яке інше монотонно зростаюче ціле число) до кожного елемента та використовуйте його, якщо порівняння "реального" неможливе.

EDIT: це здається цікавою проблемою, і я про це трохи дослідив. Я пропоную вам прочитати наступне:

1. Дарелл Реймонд. Бази даних про часткове замовлення, кандидатські дисертації, Університет Ватерлоо.

Я пропоную вам прочитати цей документ: Даскалакіс, Константинос та ін. "Сортування та вибір у позах." Журнал обчислювальної техніки SIAM 40.3 (2011): 597-622.

Автори представляють тут структуру даних під назвою ChainMerge, яка приймає набір і ланцюгову декомпозицію групи в ланцюги. Розмір структури даних - . Автори представляють алгоритм знаходження мінімумів, який працює в де - верхня межа ширини набору. .. Я думав, може, це цікаво.O ( n q ) O ( w n ) $q$$O(n q)$$O(w n)$$w$

Примітка: попередню наївну відповідь я видалив. Клацніть по редагуванню, щоб побачити це.

Моє використання термінології може бути неправильним. Будь ласка, відредагуйте мою відповідь безпосередньо, щоб усунути будь-які проблеми, які ви знайдете.

---

По-перше, потрібно виявити взаємно незрівнянні набори з входів.

Наприклад, може бути 5 об'єктів a, b, c, d, e, але їх часткове впорядкування утворює два роз'єднані графіки:

• a ≤ b ≤ c
• d ≤ e
• але будь-який із {a, b, c}них незрівнянний ні з одним {d, e}.

Ці взаємно незрівнянні набори потрібно виявити спочатку, перш ніж об’єкти можуть бути збережені у відповідній структурі даних. Це можна зробити за допомогою алгоритму пошуку Union

---

Для ефективності вставки нового об’єкта необхідно мати ефективний спосіб пошуку "списку існуючих об'єктів, які можна порівняти з цим новим об'єктом".

---

Тепер, у межах кожного підмножини (відповідно {a, b, c}та {d, e}), мінімуми повинні бути чітко визначені. (Для кожного підмножини може бути один або декілька мінімумів через часткове впорядкування.)

Я бачу це як спрямований ациклічний графік . Намагатися помістити його в купу здається згубним.

---

Для отримання мінімумів з цієї складеної структури даних наступним кроком є ​​отримання списку всіх мінімумів з усіх підмножин, вибору одного з найраніших часових позначок і видалення та повернення цього об'єкта.

Проект, над яким я працюю, пов'язаний з подібною проблемою (до речі, я також використовую частковий порядок векторів). У нас вже був квадратичний алгоритм часу для сортування випадково упорядкованого списку, і я розробив алгоритм вставки, спостерігаючи за його поведінкою, коли лише один об’єкт вийшов з ладу. Ми не знаємо, чи це це найшвидша реалізація.

Ось псевдокод.

class PartialOrderPriorityQueue
   q <- empty list
   method insert (n):
     for i <- 0 to (q.length - 1):
       if q[i] <= n:
         t <- q[i]
         q[i] <- n
         n <- t
     q.append(n)

   method pop():
     return q.remove(0)

Звичайна поведінка купи - це додавання нового значення на задню частину, а потім просіювання вгору, тоді як воно порівнює більше, ніж його батьківське.

Якщо ви пишете порівняння, яке повертає однакове для батька і дитини, не є порівнянним випадком, оскільки для батьків більше, ніж для дитини , просіювання все одно закінчиться в потрібній точці.

Чи вважається це достатньо стабільним замовленням для ваших цілей?

---

Для уточнення візьміть приклад із коментаря: a> b і c не можна порівняти з a або b :

• a тоді b тоді c => a, b, c ... це вже в купі порядку, і ніколи нічого не рухається в просіюванні
• b, a, c => a, b, c ... a просіюється до правильного місця, і знову ми в правильному купі
• a, c, b => a, c, b ... b не може просіяти, тому що це не можна порівняти з c, але це залишає їх у порядку FIFO, як ви запитували
• c, b, a => c, a, b ... a і b знаходяться у правильному відносному порядку, але жоден не може випереджати c, тому що їх не можна порівняти з ним

Отже, результат залежить від порядку вставки - це, здається, відповідає тому, що ви просите, але я не впевнений, чи це дійсно те, що ви хочете. Якщо це не так, чи могли б ви показати результат, який ви сподівалися побачити?

---

Гаразд, тому з вашого коментаря (та редагування вашого запитання) ви хочете, щоб "порівнянні" елементи перестрибували "непорівнянні" елементи і знаходили правильне місце під замовленням, якщо воно є. Я запитав про це, бо не знав, як інтерпретувати

якщо деякі елементи незрівнянні, він повертає їх у тому порядку, в який вони були вставлені

(d і b попарно незрівнянні у вашому редагуванні, але ви не хочете їх у тому порядку, в який вони були вставлені).

Наступне моє запитання стосувалося б співвідношення між "порівнянними" та "непорівнянними" елементами, але я бачу, що ви виявили, що вони вектори в порядку продукту (не було зрозуміло, чи деякі елементи попарно - незрівнянний з усім , як NaN, чи що).

Отже, якщо я беру ваш новий приклад і призначаю векторні значення, чи правильно, що це приклад, коли b не можна порівняти ні з чим іншим:

        a (1,1)
      /      \
    b (0,4)   c (3,3)
  /
d (2,2)

і слід сортувати так:

        a (1,1)
      /      \
    d (2,2)   c (3,3)
  /
b (0,4)

?