Екстракт бінарної купки потенціальної функції макс O (1)

Мені потрібна допомога у визначенні потенційної функції для максимальної купи, щоб витяг максимуму був завершений за амортизований час. Додам, що я не дуже добре розумію потенційний метод. $O(1)$

Я знаю, що функція вставки повинна "платити" більше, щоб знизити витрати на видобуток, і це має бути пов'язано з висотою купи (якщо дає висоту купа має бути або ) $\lfloor \log(n) \rfloor$ $2\log(n)$ $\sum_{k=1}^n 2\log(k)$

— andrei
джерело

Спробуйте наступне:

Вага елемента в купі - його глибина у відповідному бінарному дереві. Отже, елемент у корені має нульову вагу, двоє його дітей мають вагу 1 тощо. Ви визначаєте як потенційну функцію $w_i$ $i$ $H$

Φ (H) = \sum_{i \in H} 2 w_{i} .

$\Phi(H)=\sum_{i\in H}2 w_i.$

Давайте зараз проаналізуємо операції купи. Для вставки ви додаєте новий елемент, додайте глибину не більше . Це збільшує потенціал на , і це можна зробити за час. Тоді ви "перекидаєте" новий елемент купи, щоб переконатися у властивості купи. Це займає час і залишає незмінними. Таким чином, витрати на вставку становлять . $d$ $\log(n)$ $2d$ $O(1)$ $O(\log n)$ $\Phi(H)$ $O(\log(n)+\Delta(\Phi(H)))=O(\log n)$

Тепер розглянемо витягMin . Ви виймаєте корінь і замінюєте його останнім елементом у купі. Це зменшує потенціал на , таким чином ви можете дозволити ремонтувати властивість купи, і тому амортизовані витрати тепер . $2\log(n)$ $O(1)$

Якщо у вас є загальне питання щодо потенційної функції, слід поставити це як інше питання.

— А.Шульц
джерело

Я впевнений, що ви праві, але я не зрозумів вставку. Чому не змінюється? Вибачте, якщо відповідь очевидна, але чи можете ви розширити ? Я не бачу, чому у вас там буде від’ємне число

Δ (Φ (H)))

$\Delta(\Phi(H)))$

Δ

$\Delta$

— andrei

Δ (Φ (H))

$\Delta(\Phi(H))$ позначає різницю потенціалів - до і після вставки. Це у випадку вставки не більше . Коли ви обмінюєтеся двома елементами в купі (пузир або пухир), то одна вага отримує +1, а інша отримує -1 зміну, таким чином потенціал (сума всіх ваг) залишається однаковим.

2 \log (n)

$2\log(n)$

— А.Шульц

Як проводиться ремонт O (1)? У чому полягає використання потенційної функції для ремонту купи? Поясніть, будь ласка,

— Sohaib

@Sohaib: ремонт займає час , але час амортизується за допомогою вищезазначеної функції. Немає іншого використання потенційної функції, ніж аналіз амортизованих витрат.

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

— А.Шульц

@ A.Schulz Це, по суті, означає, що, враховуючи, що операція вилучення виконується n разів, оскільки кожен раз потенційна функція зменшуватиметься на 2logn (може або не збільшиться однаково при ремонті). Загальна складність для такої речі була б постійним часом, оскільки в кінцевому підсумку на дереві не було б вузла. Чи правий я?

— Sohaib