Чи проблема NP "підмножина" не завершена?

Проблема підмножини підсумків є класичною проблемою, що не стосується NP:

Враховуючи список чисел і цільовий , чи існує підмножина чисел з яка дорівнює ? $L$ $k$ $L$ $k$

Студент запитав мене, чи цей варіант завдання, який називається проблемою "підмножина продукту", не відповідає NP:

Враховуючи список чисел та цільову , чи існує підмножина чисел із , добуток яких ? $L$ $k$ $L$ $k$

Я здійснив пошук і не зміг знайти жодних ресурсів, які б говорили про цю проблему, хоча, можливо, я їх пропустив.

Чи повна проблема продукту підмножини NP не завершена?

complexity-theory np-complete reductions

Цікаві відповіді, але мені цікаво: чи не можемо ми зменшити суму підмножини, лише взявши журнали k та всі числа? (Можливо, я повинен задати окреме запитання?)

— j_random_hacker

@j_random_hacker, так, якщо ви не можете знайти відповідь після пошуку на цьому веб-сайті та в Інтернеті, я пропоную вам поставити окреме запитання. Це приємне запитання з приємною відповіддю (підказка: прийняття журналів залишає вас з чимось, що не є цілим числом; в іншому напрямку подумайте, що показник впливає на розмір чисел), але це трохи дотична. і було б краще у власному питанні.

— DW

@DW: Спасибі, коли я отримаю час, я зроблю так, як ви запропонуєте!

— j_random_hacker

Відповіді:

У коментарі згадується зменшення з X3C на SUBSET PRODUCT, приписаний Yao. Зважаючи на ціль скорочення, важко було здогадатися, яким було скорочення.

Визначення:

ТОЧНА ПОКРИТА 3-СТАЛОМ (X3C)

Дано скінченну множину з кратне 3, а колекція 3-елементних підмножин , чи містить точну кришку для $X$ $|X|$ $C$ $X$ $C$ $C'$ , де , і кожен елемент відбувається в точності один раз в ? $X$ $C' \subseteq C$ $X$ $C'$

ПОДРОБНИЙ ПРОДУКТ

Враховуючи список чисел та цільову , чи існує підмножина чисел із , добуток яких ? $L$ $k$ $L$ $k$

Щоб зменшити екземпляр X3C до примірника SUBSET PRODUCT:

Встановіть бієктивне відображення між членами та першимпрості числа. Замініть членипідмножини і намальованими праймерами. $X$ $|X|$ $X$ $C$
Для кожного підмножини в множте його членів разом; Отриманий список продуктів становить для екземпляра SUBSET PRODUCT. Оскільки прості числа використовуються для відображення на етапі 1, продукти гарантуються еквівалентними, якщо підмножини еквівалентні унікальною теоремою факторизації . $C$ $L$
Помножте члени разом; отриманий продукт - це значення для екземпляра SUBSET PRODUCT. $X$ $k$

Основними факторами є саме члени $k$ $X$ . Прості множники чисел у відповідають точно членам підмножини Тому будь-яке рішення нового примірника SUBSET продукту може бути перетворено в розчин X3C шляхом зіставлення членів розчину назад до підмножини в . $L$ $C$ $L$ $C$

Кожен з 3 етапів перетворення включає операції, які є многочленом розміру вхідного або розмір члена . Перша прайми можуть утворюватися в часі O ( ) за допомогою сита Ератостена і гарантовано вписуються в $|X|$ $X$ $|X|$ $|X|$ простір затеоремою простих чисел. $O(|X|^2 \ln |X|)$

— Кайл Джонс
джерело

+1, але для зменшення, яке потрібно пройти, я думаю, що нам потрібно, щоб перший | X | Прості числа можуть бути представлені у кількох бітах, що є поліном у | X | - Я маю рацію щодо цього, і якщо так, чи маємо ми цю гарантію?

— j_random_hacker

Відмінний момент. Я додав абзац для вирішення цього питання.

— Кайл Джонс

Дякую, що ця теорема цементує це! Не для нитпика, але згідно зі сторінкою, до якої ви пов’язані, число kth простих цифр становить приблизно k log k, і враховуючи, що сито Ератостена, очевидно, обчислює всі прайми до n часу O (n log log n) , замінюючи n = k log k з'являється, щоб дати час O (k * log (k) * log (log (k log k))), а не O (k) (ваш O (| X |)), для обчислення першого k таким чином

— j_random_hacker

Кайл Джонс, чи не критично, що крок 3 створить число

експоненціальної величини? Чи справді це скорочення поліноміального часу?

k

$k$

— користувач1742364

@ user1742364 Ні, оскільки обчислення

не вимагає експоненціальної кількості операцій або вимагає зберігання експоненціальної кількості біт. Обчислення

вимагає

множення і множення є в гіршому випадку операцією

. У той час як

буде експоненціально більшим, ніж найбільший простий

, кількість бітів, необхідних для зберігання

буде

k

$k$

k

$k$

| X |

$|X|$

O (n^{2})

$O(n^2)$

k

$k$

P

$P$

X

$X$

k

$k$

O (\log P)

$O(\log P)$

— Кайл Джонс

Відповідно до [ 1 ]: Так

Я також наводжу те саме посилання: Коментарі: Існує тонка технічна відмінність між цим та Задачею 42: у першому випадку є псевдоефективний алгоритм, отриманий за допомогою можливості представлення чисел в одинакових; якщо всі проблеми, повні NP, не можуть бути вирішені швидкими алгоритмами, однак проблема продукту підмножини не може бути вирішена "ефективними" методами, використовуючи навіть це необгрунтоване подання вводу.

поглянути на [2] щодо зменшення. [2]: стипендіати, Майкл та Ніл Кобліц. "Складність і криптографія з фіксованими параметрами." Прикладна алгебра, алгебраїчні алгоритми та коди, що виправляють помилки (1993): 121-131.

— AJed
джерело

Дійсне скорочення чи цитування статті у журналі, було б добре, якщо можливо.

— templatetypedef

@templatetypedef У Гарі та Джонсона зменшення до точного покриття на 3 набори. Завдяки приватному спілкуванню з Яо.

— AJed

Скорочення криптографічного паперу викликає іншу проблему, в якій цільовий продукт замінюється на відповідність цільовому номеру модулем модулем, заданим у екземплярі. (Хоча якщо я правильно зрозумів доказ, вони все одно отримують лише слабку твердість, тому що модуль експоненціальний за величиною.)

— Джеффрі Босбум