Чи можна довести нерозбірливість проблеми зупинки в Coq?

Я дивився " П’ять етапів прийняття конструктивної математики " Андрія Бауера, і він каже, що існує два види доказування суперечливістю (або дві речі, які математики називають доказом суперечливими):

1. Припустимо, що помилково ... бла-бла-бла, суперечність. Тому P правда.$P$$P$
2. Припустимо, - правда ... бла-бла-бла, суперечність. Тому хибний.$P$$P$

Перший еквівалентний Закону виключеного середини (LEM), а другий - тому, як довести заперечення.

Доказ нерозбірливості проблеми зупинки (HP) - це доказ протиріччя: припустимо, є машина яка може вирішити HP ... bla bla bla bla, протиріччя. Тому не існує.$D$$D$

Отже, нехай " існує і може вирішити HP". Припустимо, - правда ... бла-бла-бла, суперечність. Тому хибний.$P$$D$$P$$P$

Це виглядає як другий вид доказування суперечливістю, чи можна довести нерозбірливість проблеми зупинки в Coq (не передбачаючи LEM)?

EDIT: Я хотів би побачити деякі моменти щодо доведення цього, використовуючи протиріччя. Я знаю, що це можна довести і за допомогою діагоналізації.

Ви абсолютно праві, що проблема зупинки є прикладом другого виду "доказу протиріччя" - це насправді лише негативне твердження.

Припустимо decides_halt(M), це присудок, який говорить про те, що машина Mвирішує, чи її вхід - це машина, яка зупиняється (тобто це Mпрограма, яка для деякої машини mі введення iвизначає, чи mзупиняється на вході i).

Забувши на мить про те, як це довести, проблема зупинки - це твердження, що не існує машини, яка вирішує проблему зупинки. Ми можемо заявити це в Coq як (exists M, decides_halt M) -> False, або, можливо, ми вважаємо за краще сказати, що будь-яка машина не вирішує проблему зупинки forall M, decides_halt M -> False. Виявляється, що без жодної аксіоми ці дві формалізації у Coq рівнозначні. (Я прописав доказ, щоб ви могли бачити, як він працює, але firstorderзробите всю справу!)

Parameter machine:Type.
Parameter decides_halt : machine -> Prop.

(* Here are two ways to phrase the halting problem: *)

Definition halting_problem : Prop :=
  (exists M, decides_halt M) -> False.

Definition halting_problem' : Prop :=
  forall M, decides_halt M -> False.

Theorem statements_equivalent :
  halting_problem <-> halting_problem'.
Proof.
  unfold halting_problem, halting_problem'; split; intros.
  - exact (H (ex_intro decides_halt M H0)).
  - destruct H0.
    exact (H x H0).
Qed.

Я думаю, що будь-яке твердження не так складно довести як аргумент діагоналізації, хоча формалізація машин, обчислюваність та зупинка, ймовірно, є досить складним завданням. Для більш простого прикладу, це не так вже й складно довести теорему диагонализации Кантора (див https://github.com/bmsherman/finite/blob/master/Iso.v#L277-L291 для доказу цього nat -> natі natНЕ ізоморфні).

Діагоналізація, наведена вище, дає приклад того, як можна йти про протиріччя із ізоморфізму між nat -> natта nat. Ось суть цього доказу, викладеного як автономний приклад:

Record bijection A B :=
  {  to   : A -> B
  ; from : B -> A
  ; to_from : forall b, to (from b) = b
  ; from_to : forall a, from (to a) = a
  }.

Theorem cantor :
  bijection nat (nat -> nat) ->
  False.
Proof.
  destruct 1 as [seq index ? ?].
  (* define a function which differs from the nth sequence at the nth index *)
  pose (f := fun n => S (seq n n)).
  (* prove f differs from every sequence *)
  assert (forall n, f <> seq n). {
    unfold not; intros.
    assert (f n = seq n n) by congruence.
    subst f; cbn in H0.
    eapply n_Sn; eauto.
  }
  rewrite <- (to_from0 f) in H.
  apply (H (index f)).
  reflexivity.
Qed.

Навіть не дивлячись на деталі, ми можемо бачити з твердження, що цей доказ сприймає саме існування біекції і демонструє, що це неможливо. Спочатку даємо двом сторонам біекції імена seqта index. Ключовим є те, що поведінка бієкції в спеціальній послідовності f := fun n => S (seq n n)та її індексі index fсуперечлива. Доказ проблеми зупинки може викликати протиріччя аналогічним чином, обґрунтовуючи її гіпотезу щодо машини, яка вирішує проблему зупинки з ретельно вибраною машиною (і зокрема, тією, яка насправді залежить від передбачуваної машини).