Доказ повноти NP щодо проблеми, що охоплює дерево

Я шукаю підказки у питанні, яке задав мій інструктор.

Тож я щойно зрозумів, що ця проблема рішення :$\sf{NP\text{-}complete}$

У графі , чи є в розрізненне дерево, яке містить точний набір як листя. Я зрозумів, що ми можемо довести, що це , зменшивши гамільтонівський шлях до цієї проблеми рішення.G S = { x 1 , x 2 , … , x n } N P - c o m p l e t $G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

Але мій інструктор також запитав нас у класі:

чи буде це також якщо замість "точного набору " ми зробимо$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

"включити весь набір та, можливо, інші листя" або "підмножину "$S$$S$

Я думаю, що "підмножина S" була б , але я просто не можу цього довести, я не знаю, яку проблему я можу звести до цього. Щодо "включити множину S ...", я думаю, що це можна вирішити в поліноміальний час.$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

Словом, ваші здогадки правильні. Для цілі цієї відповіді назвемо три проблеми, про які йдеться так:

• Версія рівності: З огляду на графік і набір S ⊆ V , вирішити , слід чи G має сполучна дерево T такий , що безліч листів в Т дорівнює S . Як ви вже заявляли, це є NP-завершеним зменшенням проблеми гамільтонівського шляху.$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• Версія Підмножини: З огляду на , і S , як зазначено вище, вирішити , слід чи G має сполучна дерево T такий , що безліч листів в T є підмножиною S .$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• Superset версія: З огляду на і S , як зазначено вище, вирішити , буде чи G має охоплює дерево T таке , що безліч листів в T є підмножиною S .$G$$S$$G$$T$$T$$S$

Щоб довести, що версія підмножини не завершена NP, ви все ще можете зменшити до неї проблему шляху гамітонів. Спробуйте змінити доказ NP-повноти версії рівності.

Щоб довести, що версію суперсети можна вирішити за багаточлен, спробуйте знайти необхідну та достатню умову для існування такого дерева $T$

Обидві версії (а також деякі інші проблеми, що стосуються розсаджених дерев) вивчаються в [SK05]. Але я здогадуюсь, що краще, якщо ви спробуєте вирішити проблеми самостійно, перш ніж дивитися на докази в папері, адже дивлячись на папір, це може бути великим спойлером. На жаль, я переглянув документ, перш ніж спробувати знайти алгоритм поліноміального часу для версії суперсети!

[SK05] Мохаммед Сохель Рахман та Мохаммед Кайкобад. Складність деяких цікавих проблем, що стосуються дерев, що спливуться. Листи з обробки інформації , 94 (2): 93–97, квітень 2005 р. [ Doi ] [ авторська копія ]

Цих підказок було недостатньо для того, щоб примусити мене вирішити набір проблем S - хоча підказки корисні та правильні. Це мій потяг думок, який підштовхнув мене до рішення.

Що станеться, якщо вилучити всі вершини S у G, (VS), а потім знайдете розкинуте дерево T з DFS? Якщо в G є ще непоєднані вершини, скажіть v1; що це говорить про роль принаймні однієї з вершин у S, яка була вилучена? Це лежить у шляху до v1 від якоїсь вершини, яка зараз знаходиться в насаджуваному дереві. Таким чином, це не може бути листочком (оскільки у листя немає дітей). Якщо немає непоєднаних вузлів, це означає, що кожна вершина в S може бути листочком, за умови, що у нього є край, що веде до дерева, що тягнеться. Вершини в S, які з'єднуються лише з іншими вершинами в S, звичайно, не матимуть зв'язку з деревом, що охоплює, і порушують умову. Отже, є два випадки перевірки:

1. Якщо всі вузли, які не знаходяться в S, підключені після видалення S з G та пошуку дерева, що охоплює
2. Якщо кожен вузол S може бути підключений безпосередньо до дерева, що охоплює.