Чи теорема smn те саме поняття, що і currying?

Я вивчаю теорему smn, і ця концепція нагадала мені про те, що б то не було.

З статті wikipedia про теорему smn :

теорема говорить, що для даної мови програмування та натуральних чисел m і n існує певний алгоритм, який приймає вхідний код програми з m + n вільними змінними разом із m значеннями. Цей алгоритм генерує вихідний код, який ефективно замінює значення для перших m вільних змінних, залишаючи решту змінних вільними.

Зі статті про каррі :

Інтуїтивно зрозумілий, що говорить, "якщо ви виправите деякі аргументи, ви отримаєте функцію решти аргументів"

Мені здається така ж ідея. Єдиною причиною, чому я не впевнений, є те, що матеріали, на які я потрапив на smn, не згадують каррі (і навпаки), тому я хотів проконсультуватися з цим, щоб переконатися, що я його справді отримав.

computability

— еманек
джерело

Справді. Деякі доказові обчислення мають багряний смак. Теорема smn дуже грубо дозволяє зробити вигляд, що індекси рекурсивних функцій є лямбда-термінами, так що, даючи ми можемо неформальний і стверджують, що - примітивний рекурсивний. Навіть другий доказ теореми про рекурсію (який експлуатує smn) - це комбінатор неподвижної точки Церкви в маскуванні, прихованому за використанням . Ключовим моментом тут є те, що навіть якщо перерахування визначено перерахуванням, скажімо, ТМ (або Java, або ...), ми все одно можемо робити вигляд, що у нас є лямбда!

ϕ_{i} (-, -)

$\phi_i(-,-)$

g (x) = # λ y . ϕ_{i} (x, y)

$g(x) = \#\lambda y. \phi_i(x,y)$

g

$g$

s ()

$s()$

ϕ_{i}

$\phi_i$

— чі

Ну, smn робить екзистенційне твердження, тоді як існування curried функції забезпечує "компілятор". Але ідея та сама.

— Рафаель

Так, це те саме.

Каррінг - поняття від -калькуляції. Це перетворення між і . Подумайте про це як "якщо у нас є функція з двох аргументів типів і , тоді ми можемо виправити перший аргумент (типу ), і ми отримаємо функцію аргументу, що залишився (типу )". Насправді ця трансформація є ізоморфізмом. Це зроблено математично точно математичними моделями (набраних) -калькулів, які є декартовими закритими категоріями . $\lambda$ $A \times B \to C$ $A \to (B \to C)$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\lambda$

Існує категорія нумерованих наборів. Нумерований набір - це пара де - це множина, а - часткова витісняння, тобто карта з чисел на , яка також може бути невизначеною. Якщо , то ми говоримо , що є кодом з . У теорії обчислюваності є багато прикладів. Щоразу, коли ми кодуємо якусь інформацію числом, ми отримуємо нумерований набір. Наприклад, існує стандартна нумерація часткових обчислювальних функцій, так що $(A, \nu_A)$ $A$ $\nu_A : \mathbb{N} \to A$ $A$ - число, обчислене частковою обчислювальною функцією, закодованої при застосуванні до . (Результат може бути невизначеним.) $\nu_A(n) = x$ $n$ $x$ $\varphi$ $\varphi_n(k)$ $n$ $k$

Морфізм нумерованих множин - це реалізована карта , що означає, що існує такий, що для всіх в області . Це виглядає складно, але все це говорить, що $f : (A, \nu_A) \to (B, \nu_B)$ $n \in \mathbb{N}$ $f(\nu_A(k)) = \nu_B(\varphi_n(k))$ $k$ $\nu_A$ $\varphi_n$ робить для кодування того, що робить для елементів. Математичний спосіб сказати, що "програма реалізує функцію ". $f$ $\phi_n$ $f$

Ось пункт пунктину: категорія пронумерованих наборів - декартова закрита. Тому ми можемо інтерпретувати введений -рахунок у ньому та запитати, яка програма реалізує операцію currying. Відповідь: програма, задана теоремою smn. $\lambda$

— Андрій Бауер
джерело

Цікаво. Чи тісно пов'язана ця категорія з

здається, викликає PER.

P E R (A)

$PER(A)$

ν_{A}

$\nu_A$

— чі

Так, дві категорії еквівалентні, а третя еквівалентна версія - це скромні набори (пошук "скромних наборів та зборів").

— Андрій Бауер