Довести, що діагностика спрямованої графіки є важкою для NP

У мене є домашнє завдання, яке я певний час бив головою, і буду вдячний за будь-які підказки. Йдеться про вибір відомої проблеми, NP-повнота якої доведена, а також побудова зведення від цієї проблеми до наступної проблеми, яку я називаю DGD (спрямований графік діагностики).

Проблема

Екземпляр DGD складається з вершин , спрямованих ребер та додатного цілого . Є три типи вершин: вершини, тільки входять ребра , вершини тільки з йдуть краями і вершинами з вхідним і вихідними ребрами . Нехай , крім того .V = I . ∪ виведення . ∪ B E k I O B D = O × $(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

Тепер проблема полягає в тому, чи можемо ми охопити всі вузли максимум елементами , тобто$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

де означає, що існує спрямований шлях від до .a $a\to^* b$$a$$b$

Я думаю, що проблема домінантного набору - це те, від кого я повинен зменшитись, тому що це теж стурбовано охопленням підмножини вузлів іншим підмножиною. Я спробував створити екземпляр DGD, спершу створивши два вузли для кожного елемента домінуючого набору, скопіювавши всі ребра, а потім встановив для екземпляра DGD, рівний тому, що застосовується для екземпляра DS.$k$

Припустимо простий екземпляр DS з вузлами , та та ребрами та . Це екземпляр так з ; домінуючий набір у цьому випадку складається лише з вузла . Скорочення за допомогою тільки що описаного методу призвело б до появи екземпляра DGD з двома шляхами та ; щоб охопити всі вузли, достатньо було б лише однієї пари . Це спрацювало б чудово, якби не той факт, що домінуючий набір DS-екземпляра, звичайно, не може бути визначений у поліноміальний час, що тут є вимогою.$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$$(1, 1')$

Я виявив , що є багато хороших перспективних способів перетворення краю і вершини , коли восстановителей, але моя проблема як - то висловити ДСР в з точки зору DS . Домінуючий набір здавався придатною проблемою для зменшення з, але через це я думаю, що, можливо, я повинен спробувати зменшити проблему, яка не має такого ?$k$$k$$k$

Натомість зменшіть NP-комплект SET-COVER .

Нехай з k ∈ N - екземпляр кришки множини. Визначте екземпляр ( V , E , k ′ ) DGD таким чином:$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

Неважко помітити, що сконструйований екземпляр DGD має позитивну відповідь тоді і лише тоді, коли заданий екземпляр обкладинки має позитивну відповідь. Зокрема, всі пари ( s i , o i ) повинні вибиратися незалежно від того, щоб охопити всі o i ; то k з m пар ( s i , o ) повинні охоплювати всі e j , і перші компоненти обраних рішень - це екземпляр SET-COVER. Якщо такий вибір неможливий, екземпляр SET-COVER також не має рішення.$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

Оскільки конструкція можлива в поліноміальний час, це доводить SET-COVER DGD.$\leq_p$

Як приклад, розглянемо приклад обкладинки набору прикладів, наведений у Вікіпедії , а саме та множини S = { { 1 , 2 , 3 } , { 2 , 4 } , { 3 , 4 } , { 4 , 5 } } . Це перекладається на такий графік:$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

^{[ джерело ]}