Знайдіть многочлен у двох-трьох запитах

Чорне поле $f(x)$ означає, що я можу оцінити поліном в будь-якій точці. $f(x)$

Вхід : Чорна скринька монічного многочлена ступеня . $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
Висновок: В коефіцієнти многочлена . $d$ $f(x)$

Мій алгоритм: нехай

f (x) = x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Оцініть поліном $\mathcal{f(x)}$ у $d$ багатьох точках за допомогою чорного поля та отримайте систему лінійних рівнянь. Тепер я можу вирішити систему лінійних рівнянь, щоб отримати бажані коефіцієнти.

Однак у цьому випадку мені потрібно $\mathcal{O(d)}$ багато запитів до чорного поля. Я хочу мінімізувати кількість запитів . Чи є спосіб зменшити кількість запитів до двох або трьох?

algorithms polynomials

— Складність
джерело

Ви продовжуєте змінювати питання. Можливо, спершу слід визначитися зі своїм питанням і лише після цього задати його. Інакше це може дещо засмутити відповідача.

— Yuval Filmus

Що означає

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5

набір натуральних чисел

— Складність

BTW для вашого алгоритму коефіцієнти можна обчислити в

замість

із закритою формулою Лагранжа.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5

Точне запитання, сформульоване інакше: math.stackexchange.com/questions/446130/…

— Nayuki

Визначити поліном можна за допомогою двох запитів. Спочатку запитуйте поліном на щоб отримати верхню межу на значення коефіцієнтів. Тепер запитуйте поліном на на ваш вибір і зчитуйте коефіцієнти з базового розширення. $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

Цікаво, що якщо ви дозволяєте коефіцієнтам бути негативними, ви не можете виконати краще, ніж запити. Дійсно, я завжди можу відповісти на ваші запити за нуль, і це не фіксує значення многочлена, оскільки всі многочлени форми відповідають моїм відповідям. $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— Юваль Фільм
джерело

Щодо негативів, я думаю, що трюк доповнення 2 може спрацювати.

— Складність

Не без верхньої межі величини коефіцієнтів. Про це свідчать мої докази.

— Yuval Filmus

Вибачте, що я не отримав цю частину "Я завжди можу відповісти на ваші

запити

за нулем"

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

— Складність

Це суперечливий аргумент. Ваш алгоритм запитує у чорному полі значення

місця, і воно завжди відповідає нулю. Я показую, що цього недостатньо для того, щоб вивести значення

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$

— Yuval Filmus