Як комбінатор Y ілюструє "невідповідність обчислення лямбда"?

На сторінці Вікіпедії для комбінаторів фіксованих точок написаний досить загадковий текст

Комбінатор Y - це приклад того, що робить обчислення лямбда непослідовними. Тож до цього слід ставитися з підозрою. Однак безпечно вважати комбінатор Y, коли визначено лише в математичній логіці.

Чи я вступив у якийсь шпигунський роман? Що у світі мається на увазі під твердженнями, що -calculus є "непослідовним" і що це слід "сприймати з підозрою" ? $\lambda$

lambda-calculus combinatory-logic

— Бен І.
джерело

FWIW, цей пункт міститься у статті Вікіпедії з січня 2014 року, коли він був внесений у цю масову переписку майже всієї статті .

— Ільмарі Каронен

Відповіді:

Він натхненний реальними подіями, але те, як заявлено, ледве впізнаваний і "слід розглядати з підозрою" - це нісенітниця.

Послідовність має чітке значення в логіці: послідовна теорія - це те, де не всі твердження можна довести. У класичній логіці, це рівносильно відсутності суперечності, тобто теорія суперечливаякщо і тільки якщо є заяватакимщо теорія доводитьякі його заперечення. $A$ $A$ $\neg A$

Отже, що це означає щодо обчислення лямбда? Нічого. Обчислення лямбда - це система переписування, а не логічна теорія.

Можна перерахувати лямбда-числення щодо логіки. Розглядають змінні як репрезентування гіпотези у доказі, лямбда-абстракції як докази певної гіпотези (представлені змінною), а застосування як об'єднання умовного доказу та доказу гіпотези. Тоді правило бета відповідає спрощенню доказування, застосовуючи modus ponens , основний принцип логіки.

Це, однак, працює лише тоді, коли умовний доказ поєднується з доказом правильної гіпотези. Якщо у вас є умовний доказ, який передбачає а ви також маєте доказ , ви не можете їх об'єднати. Якщо ви хочете зробити таке тлумачення роботи лямбда-числення, вам потрібно додати обмеження, що до умовних доказів застосовуються лише докази належної гіпотези. Це називається системою типів , а обмеженням є правило введення тексту, яке говорить про те, що при передачі аргументу функції тип аргументу повинен відповідати типу параметра функції. $n=3$ $n=2$

Переписка Каррі-Говарда паралель між типізованих числень і коректорів систем.

типи відповідають логічним твердженням;
умови відповідають доказуванням;
населені типи (тобто типи, такі, що є термін цього типу) відповідають істинним твердженням (тобто твердженням, що є підтвердження цього твердження);
Оцінка програми (тобто такі правила, як бета-версія) відповідають перетворенням доказів (які мали б краще перетворити правильні докази в правильні докази).

Введене числення, у якого є комбінатор з фіксованою точкою, такий як дозволяє будувати термін будь-якого типу (спробуйте оцінити ), тож якщо ви сприймете логічну інтерпретацію за допомогою листування Кері-Говарда, ви отримаєте суперечливу теорію. Див. Чи суперечить комбінатор Y проти листування Кері-Говарда? для отримання детальної інформації. $Y$ $Y (\lambda x.x)$

Це не має значення для чистого обчислення лямбда, тобто для обчислення лямбда без типів.

У багатьох типізованих розрахунках неможливо визначити комбінатор фіксованої точки. Ці введені розрахунки корисні щодо їх логічної інтерпретації, але не є основою для мови програмування, повністю завершеної Тьюрінгом. У деяких типізованих розрахунках можна визначити комбінатор з фіксованою точкою. Ці типізовані розрахунки корисні як основа для мови програмування, повністю завершеної Тьюрінгом, але не щодо їх логічної інтерпретації.

На закінчення:

Обчислення лямбда не є "непослідовним", це поняття не застосовується.
Збірний лямбда - обчислення , що привласнює тип для кожного члена лямбда суперечливий. Деякі набрані лямбда-калькуляції подібні, інші роблять деякі терміни незмінними та послідовними.
Введені лямбда-калькулятори не є єдиним приводом для обчислення лямбда, і навіть непослідовні набрані лямбда-калькуляції є дуже корисними інструментами - просто не доводити речі.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело

Нічого собі, тут мені багато чого розпакувати. Дякую за детальне пояснення. Це займе у мене трохи часу, щоб спробувати все це обробити.

— Бен І.

Технічно, перегляд нетипізований , як ип я збірний, ви можете зробити CH відповідність між безтиповою лямбда - обчисленням і логікою. Це просто дуже, дуже нудна (і, звичайно, непослідовна) логіка. Підтверджені помічники, як NuPRL, трохи замулили води. Мова об'єктів NuPRL містить нетипізоване обчислення лямбда, і ви можете легко визначити Y-комбінатор. NuPRL розбиває речі дещо інакше, тому у нього є система уточнення типу, а не система типів, і вправа полягає не в тому, щоб створювати чітко введені терміни, а виробляти введення слововведення.

— Дерек Елкінс

Це тільки я, чи дивно нав'язувати парадигму "пропозиції як типи" на нетипізоване обчислення лямбда? Я завжди бачив , що люди говорять про логіку в Нетипізовані лямбда - обчисленні шляхом введення конкретних об'єктів , щоб бути логічними значеннями trueі false, і пропозиції були речі , які мали Булевозначний вихід. (І розглядалися тільки пропозиції по області речей , де він робить вихід A логічне значення).

Тривіальне (доводить кожне твердження) і містить суперечності - це дві різні властивості. Хоча вони є еквівалентними у класичній логіці, для параконсистентної логіки система може бути непослідовною та нетривіальною.

— Taemyr

"Невідповідний", для логіки на основі λ-числення, означає "присвоює кожному типу деякий термін", а не "призначає тип кожному терміну" (хоча перший випливає з останнього); Є багато мов на основі λ-числення, які відповідають непослідовній логіці, але де не кожен термін λ-числення може бути введений.

— Джонатан У ролях

Я хотів би додати його до того, що сказав @Giles.

Переписка Каррі-Говарда робить паралель між -термінів (точніше, типу з -терміни) і системи докази. $\lambda$ $\lambda$

Наприклад, має тип (де означає "функцію від до "), що відповідає логічному твердженню . Функція має тип , що відповідає . Ми можемо перетворити будь-який тип лямбда-числення в логічну тавтологію шляхом, у певному сенсі, «узгодження зразка» на функції. $\lambda x.\lambda y.x$ $a \to (b \to a)$ $a \to b$ $a$ $b$ $a \implies (b \implies a)$ $\lambda x.\lambda y.xy$ $(a \to b) \to (a \to b)$ $(a \implies b) \implies (a \implies b)$

Проблема виникає, коли ми розглянемо комбінатор Y, визначений як . Проблема виникає тому, що ми очікуємо, що комбінатор Y, як комбінатор "виправлення точок", має тип (тому що він приймає функцію від типу до того ж типу і знаходить фіксовану- крапка для тієї функції, яка має цей тип). Перетворення цього в логічне твердження дає результат . Це суперечність: $\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$ $(a \to a) \to a$ $(a \implies a) \implies a$

(a ⟹ a) ⟹ a ⊤ ⟹ a a (\neg a ⟹ \neg a) ⟹ (\neg a) ⊤ ⟹ \neg a \neg a

$(a \implies a) \implies a \\ \top \implies a \\ a \\(\neg a \implies \neg a) \implies (\neg a) \\ \top \implies \neg a \\ \neg a$

Прийняття у системі типу призводить до того, що система типів є непослідовною. Це означає, що ми можемо будь-яке $(a \to a) \to a$

Заборонити такі типи, як в системі типів (це дає вам просто введений -calculus ) або $(a \to a) \to a$ $\lambda$
Живіть із системою типу, яка є непослідовною як система логічного виведення.

— Безконтекстний правопис
джерело

CH відноситься до типів пропозицій, програм до доказів і навіть скорочень до доказів перетворень. Йдеться не лише про типи. Далі тавтології відповідають лише заселеним типам. - тип поліморфного обчислення лямбда, навіть якщо жоден термін не населяє його. Якщо припустити, що ви маєте на увазі такі типи, як , то прийняття таких типів цілком чудово, питання полягає в тому, чи є у цього типу мешканець чи ні. І навпаки, ми можемо додати примітивні терміни до STLC, які зроблять відповідну логіку непослідовною без розширення системи типів.

\forall a, b . a \to b

$\forall a, b.a\to b$

\forall a . (a \to a) \to a

$\forall a.(a\to a) \to a$

— Дерек Елкінс

@DerekElkins, які примітивні терміни? Крім того, якщо я правильно розумію, це просто припустити, що (a -> a) -> a завжди мешкає, що викликає непослідовність? Тож немає більше невідповідності мові програмування, яка вимагає підтвердження припинення? Або є якесь інше джерело неузгодженості в типовому чи лямбдальному обчисленні, яке набрав Хіндлі-Мілнер?

— Hibou57

@ Hibou57 Примітивні терміни, тобто константи, як fix. Ви можете просто стверджують , що існує постійна для кожного типу . Це вже дасть вам непослідовну систему, що стосується СН, оскільки це означатиме, що кожен тип населений . Ви можете додатково додати -rules, щоб зробити обчислення, і це перетворило б, скажімо, STLC з натуралами в систему, повну Тьюрінга, але вам не потрібно додавати ці обчислювальні правила та систему все ще буде непослідовною.

{f i x}_{A}

$\mathsf{fix}_A$

A

$A$

f i x (λ x . x)

$\mathsf{fix}(\lambda x.x)$

δ

$\delta$

f i x

$\mathsf{fix}$

— Дерек Елкінс