Розв’язування функціональних рівнянь для невідомих функцій в обчисленні лямбда

Чи існують методи розв’язання функціональних рівнянь для невідомих функцій в обчисленні лямбда?

Припустимо, у мене функція ідентичності визначена як такою:

$I x = x$

(тобто, записавши рівняння для очікуваної поведінки цієї функції), і тепер я хочу вирішити це для , зробивши деяку алгебраїчну трансформацію, щоб отримати інтенсивну формулу для цієї функції:$I$

$I = \lambda x.x$

це говорить про те, як саме функція виконує те, що очікувалося (тобто як реалізувати її в обчисленні лямбда).

Звичайно, функція ідентичності використовується лише як приклад. Мене цікавлять більш загальні методи розв’язання таких рівнянь. Зокрема, я хотів би знайти функцію яка відповідає такій вимозі:$B$

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

тобто "вводить" задану функцію у задану функцію лямбда ( λ x . M ) перед її "тілом" M (що є деяким довільним виразом лямбда), можливо, розбираючи її і будуючи нову, щоб вона став параметром, до якого застосовується функція f .$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

Це відома проблема, відома як Об'єднання вищих порядків .

На жаль, ця проблема загалом не вирішена. Існує вирішальний фрагмент, відомий як Фрагмент малюнка Міллера. Він широко використовується, серед іншого, для перевірки типу залежно типізованих програм з метавимірюваними або відповідності шаблонів. Цей фрагмент є тим, де змінні об'єднання застосовуються лише до чітко пов'язаних змінних програми.

Ця стаття надає чудовий посібник про те, як працює уніфікація вищого порядку, і проходить через (відносно) просту реалізацію цього.

На жаль, схоже, що ваша функція потрапляє в цей фрагмент візерунка. Однак, те, що я дивлюсь, дуже схоже на склад функції. Чи відповідає наступна функція вашій власності?

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

Ми маємо:

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• за α- еквівалентності$= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

Я думаю, що у мене є часткова відповідь щодо рівняння з функцією тотожності:

$I x = x$

Ми хочемо вирішити це, знайшовши формулу для , яка буде мати форму ( λ p . M ) з деяким ще невідомим виразом M як її тілом. Давайте підставимо його до I у вихідному рівнянні:$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

$x$

$M[p/x] = x$

$M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

що, звичайно, є правильною відповіддю :)

$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

$x$$M$$\omega$$\omega\;\omega$$M$$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

що насправді так :)

Але я маю відчуття, що це може бути так легко лише тому, що права сторона вже була у тому вигляді, який ми шукаємо.