Це O(nlogn)рішення. AnO(n)рішення, вказане Віллардом Жаном , додається в останній відповіді.
O(nlogn) рішення
Для погодження позначте f(i,j)=(h[j]−h[i])(j−i).
Визначте l1=1, і li бути найменшим показником таким, що li>li−1 і h[li]<h[li−1]. Аналогічно визначтеr1=n, і ri бути найбільшим таким показником, що ri<ri−1 і h[ri]>h[ri−1]. Послідовностіl1,l2,... і r1,r2,… їх легко обчислити O(n) час.
Випадок, коли таких немає i<j такий як h[i]<h[j] (тобто f(i,j)>0) тривіально. Зараз ми зосередимось на нетривіальних випадках. У таких випадках, щоб знайти рішення, нам потрібно лише розглянути такі пари.
Для кожного i<j такий як h[i]<h[j], дозволяє u бути найбільшим таким показником, що lu≤i, і v бути найменшим показником таким, що rv≥j, тоді h[lu]≤h[i] (інакше lu+1≤i за визначенням lu+1, таким чином суперечить визначенню u) тощо h[rv]≥h[j]. Звідси
(h[rv]−h[lu])(rv−lu)≥(h[j]−h[i])(rv−lu)≥(h[j]−h[i])(j−i).
Це означає, що нам потрібно розглянути лише пари
(lu,rv) де
lu<rv.
Позначимо v(u)=argmaxv: lu<rvf(lu,rv), у нас є наступна лема.
Пара (lu,rv) де lu<rv, і там, де існує u0 такий як u<u0 і v<v(u0) або таке, що u>u0 і v>v(u0), не може бути остаточним оптимальним рішенням.
Доказ. Відповідно до визначення оv(u0), ми маємо
(h[rv(u0)]−h[lu0])(rv(u0)−lu0)≥(h[rv]−h[lu0])(rv−lu0),
або
(h[rv]−h[rv(u0)])lu0+h[lu0](rv−rv(u0))+h[rv(u0)]rv(u0)−h[rv]rv(u0)≥0.
У випадку, коли u<u0 і v<v(u0), Примітка h[rv]−h[rv(u0)]<0 і rv−rv(u0)>0, а також lu<lu0 і h[lu]>h[lu0], ми маємо
> (h[rv]−h[rv(u0)])lu+h[lu](rv−rv(u0))(h[rv]−h[rv(u0)])lu0+h[lu0](rv−rv(u0)).
Це означає
(h[rv]−h[rv(u0)])lu+h[lu](rv−rv(u0))+h[rv(u0)]rv(u0)−h[rv]rv(u0)>0,
або
(h[rv(u0)]−h[lu])(rv(u0)−lu)>(h[rv]−h[lu])(rv−lu).
Тому (lu,rv(u0)) є суворо кращим рішенням, ніж (lu,rv). Доказ для іншого випадку аналогічний.■
Ми можемо обчислити v(ℓ/2) по-перше де ℓ - довжина послідовності l1,l2,…, then recursively compute the optimal solution o1 among (lu,rv)'s for u=1,…,ℓ/2−1 and v=v(ℓ/2),v(ℓ/2)+1,…, and the optimal solution o2 among (lu,rv)'s for u=ℓ/2+1,ℓ/2+2,… and v=1,…,v(ℓ/2). Due to the lemma, the global optimum solution must come from {(lℓ/2,rv(ℓ/2)),o1,o2}.
O(n) Solution
Let f(lu,rv)=−∞ if lu≥rv. The proof of the lemma also shows an important property: for u>u0 and v>v0, if f(lu0,rv0)≥f(lu0,rv), then f(lu,rv0)>f(lu,rv). This means the matrix M[x,y]:=−f(lx,rc−y+1) is a totally monotone matrix where c is the length of the sequence r1,r2,… (so rc−y+1 means the y-th element from the end), then SMAWK algorithm can apply to find the minimum value of M, thus the maximum value of f.