Які математичні задачі можна вирішити за допомогою автоматизованих доказів теореми?

Чи можу я довести наступні твердження за допомогою доступних автоматизованих доказів теореми?

. $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
Якщо , то . $11 \mid 2a-3b$ $11 \mid 7a-5b$
Якщо , то $ax^2+bx+c=0$ . $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
Якщо є рівним, то є парним. $a$ $4a$

і так далі!

Я задаю це питання, тому що я щойно знайшов застосування доказів автоматизованої теореми у доведенні теорем у логіці.

automated-theorem-proving

Ви, звичайно, можете довести все це (за винятком, можливо, 3, що неправильно, як написано), використовуючи всі стандартні помічники перевірки, хоча це, ймовірно, не буде автоматичним.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus. Спасибі! То які проблеми можна вирішити автоматично?

— Math-fort

Ви можете спростити вирази автоматично, хоча це послуга, що надається Computer Algebra Systems. Я не думаю, що сучасні асистенти можуть підтвердити що-небудь суттєве, хоча краще запитати у експертів.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Я думаю, що те, що ви говорите, часто відповідає дійсності, в тому сенсі, що лише тоді, коли автоматизований метод доказування дає цікаві результати, ми готові називати це частиною КАС ...

— Дискретна ящірка

"(a + b) ^ 2 == a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab" на WolframAlpha

— Nat

Більшість ваших тверджень є елементарною алгеброю, тому їх можна автоматично довести за допомогою комп'ютерної алгебри (CAS), наприклад Maple або Mathematica.

(У випадку, якщо вас цікавить математика, що стоїть за CAS, я можу порекомендувати книгу « Сучасна комп’ютерна алгебра » Йоахіма фон Зура Ґетена та Юргена Герхарда, прекрасну книгу, яку вважають «біблією» поля)

Автоматизоване доведення теореми, як правило, є випадком здійснення евристичного пошуку на структурі, яка представляє докази, якщо доказ не є одним з небагатьох випадків, для яких існує алгоритм, який може остаточно його вирішити. Зважаючи на те, що ці твердження не дуже складні, ймовірно, що автоматизований довідник може «знайти» доказ.

Однак я думаю, що цікаво сказати трохи більше про твердження, для яких є приємні алгоритми:

Заява 3 - це (дуже простий випадок) про коріння (системи) поліноміальних рівнянь і може бути вирішена шляхом пошуку основи Грьобнера за алгоритмом Бухбергера. Основа Грьобнера та алгоритм Бухбергера для пошуку одного є дуже приємними інструментами для автоматизованого доведення теореми. Наприклад, ми можемо навіть автоматично довести елементарні теореми з геометрії, автоматично перетворивши задачу на пошук розумного кореня поліномного рівняння!

Ще один цікавий клас теорем - це твердження, виражені в арифметиці Пребургера, що не містить кількісних показників (зокрема, ця арифметика є без множення, тому це не стосується ваших тверджень), оскільки існує алгоритм вирішення всіх таких висловлювань, хоча алгоритм трохи повільно.

— Дискретна ящірка
джерело