У чому саме полягає смислова різниця між категорією та множиною?

11

У цьому запитанні я запитав, в чому різниця між набором і типом . Ці відповіді були дійсно уточнюючими (наприклад, @AndrejBauer), тому в своїй спразі до знань я піддаюся спокусі запитати те саме про категорії:

Кожен раз, коли я читаю про теорію категорій (яка, правда, досить неформальна), я не можу реально зрозуміти, чим вона відрізняється від теорії множин, конкретно .

Таким чином , в найбільш конкретному чином це можливо, що саме це має на увазі про $x$ сказати , що в категорії , по порівнянні з кажучи , що ? (наприклад, яка різниця між тим, що говорити - це група, порівняно з тим, що в категорії ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Ви можете вибрати будь-яку категорію та набір, який робить порівняння найбільш зрозумілим).

sets category-theory

— user56834
джерело

Я не впевнений, що це питання добре сформоване. Спочатку ви запитуєте, в чому різниця між тим, що говорити, що 'x знаходиться в категорії C' проти 'x в наборі S'. Але тоді ви наводите приклад запитання "x входить до категорії Grp" vs "x - група". Що? Це не приклад вашого запитання. Прикладом вашого запитання є запитання, яка різниця між 'x в категорії Grp' і 'x в наборі всіх груп'. Але навіть тоді це насправді не те, що ви запитуєте, якщо ви запитуєте, чим відрізняються категорії та набори.

— Майлз Рут

11

Якщо коротко, теорія множин - це членство, а теорія категорій - трансформація, що зберігає структуру.

Теорія наборів стосується лише членства (тобто бути елементом) і того, що можна виразити через це (наприклад, як підмножина). Це не стосується будь-яких інших властивостей елементів чи множин.

Теорія категорій - це спосіб поговорити про те, як математичні структури даного типу ¹ можуть бути перетворені одна в одну ² за допомогою функцій, що зберігають певний аспект їх структури; він забезпечує єдину мову для розмов про велику кількість типів ¹ математичної структури (групи, автомати, векторні простори, набори, топологічні простори, ... і навіть категорії!) та відображення в межах цих типів ¹ . Хоча він формалізує властивості відображень між структурами (насправді: між множинами, на які накладена структура), він має справу лише з абстрактними властивостями карт і структур, називаючи їх морфізмами (або стрілками ) та об'єктами; елементи таких структурованих множин не стосуються теорії категорій, а також не є структурами цих множин. Ви запитуєте " що це за теорія "; це теорія структурозберігаючих відображень математичних об'єктів довільного типу ¹ .

Теорія абстрактних категорій ³ , однак, як тільки було сказано, повністю ігнорує множини, операції, відносини та аксіоми, що визначають структуру об'єктів, про які йдеться, і просто надає мову, в якій можна розповісти про те, як відображення, які зберігають деяку таку структуру поводимось: не знаючи, яка структура збереглася, ми знаємо, що поєднання двох таких карт також зберігає структуру. З цієї причини аксіоми теорії категорій вимагають, щоб був закон про асоціативний склад щодо морфізмів і, аналогічно, існував морфізм тотожності від кожного об'єкта до самого себе. Але не передбачається, що морфізми насправді є функціями між множинами, просто так, що вони поводяться як вони.

Необхідно розробити: конкретні категорії моделюють ідею додавання структури до об'єктів 'базової категорії'; коли це ми можемо мати ситуацію, коли ми додаємо структуру, як групову операцію, до набору. У цьому випадку можна сказати більше про те, як додається структура з точки зору конкретної базової категорії. $\mathsf{Set}$

Що стосується наслідків ваших формулювань , говорячи про те, що " - це група", що " - це елемент набору груп" (насправді належний клас ) або що " є (об'єкт) в " ( або " -об'єкт") означають те саме, що логічно, однак, якщо говорити про категорію, це означає, що ви зацікавлені в групових гомоморфізмах (морфізми в ) і, можливо, у тому, що вони мають спільне з іншими морфізмами. З іншого боку, кажучи $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ група може підказати, що вас цікавить структура групи (її операція множення) або, можливо, як група діє на якийсь інший математичний об'єкт. Ви навряд чи будете говорити про приналежність до набору груп, хоча ви легко можете написати для певного набору груп, які вас цікавлять. $G$ $G ∈ S$ $S$

Дивись також

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- Зокрема /math/272875/concrete-category-and-abrief-category#1774821
Абстрактні та конкретні категорії: Радість кішок Адамака, Геррліха та Штрекера
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

_{$\mathsf{Set}$}

_{$\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Без кваліфікації " категорія " зазвичай означає "абстрактну категорію", запроваджену, наскільки я бачу, в 1945 році та розроблену в 1960-х роках, тоді як конкретні категорії, здається, з'являються в 1970-х.}

— PJTraill
джерело

Я не впевнений, чи це було риторично, але, безумовно, існує правильний клас груп. Наприклад, кожен набір породжує тривіальну групу на одиночному наборі, що містить цей набір. Ви також можете створити належний клас неізоморфних прикладів.

— Дерек Елкінс покинув SE

Дякую. Коли ви говорите: "це теорія структурозберігаючих відображень математичних об'єктів довільного типу ", ви маєте на увазі "тип" у значенні теорії типів, чи більш неофіційно?

— user56834

@ Programmer2134: Вибачте, якщо тип був заплутаним (я дивувався); Я не маю на увазі посилання на теорію типів (про яку я мало знаю), а маю на увазі математичні об'єкти / структури з певним набором властивостей (тобто задоволення певних аксіом) математичними об'єктами / структурами заданого типу .

— PJTraill

Це уточнює. Тож теорія категорій також спеціально передбачає, що існують такі аксіоми, і що всі ці об'єкти задовольняють цим аксіомам, або це лише мета-критерій, який ми використовуємо для визначення категорій (тобто мета до рамки теорії категорій)?

— user56834

@ Programmer2134: Ні, теорія категорій повністю ігнорує аксіоми і просто надає мову, в якій можна говорити про відображення, які зберігають деяку таку структуру: не знаючи, яка структура збереглася, ми знаємо, що поєднання двох таких карт також зберігає структуру. З цієї причини аксіоми теорії категорій вимагають, щоб був закон про асоціативний склад щодо морфізмів і, аналогічно, існував морфізм тотожності від кожного об'єкта до самого себе. Але не передбачається, що морфізми насправді є функціями між множинами, просто так, що вони поводяться як вони.

— PJTraill

5

$C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

$x$ $x$

— DW
джерело

Тож дозвольте мені порівняти категорії з наборами та типами, як це робив @AndrejBrauer у своїй відповіді на моє інше питання. Набір формалізує поняття колекції предметів. Тип формалізує поняття побудови об’єктів. Яке поняття формалізує "Категорія"? Який математичний процес / структура теорії категорій теорії про ?

— користувач56834

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

@ Programmer2134, це хороший момент. Має сенс. Я приймаю вашу думку.

— DW

4

Ще один пункт щодо пояснення DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Я хотів би зробити більш чітку заяву:

Поняття визначається його категорією

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Після того, як ви це отримаєте, категорія дає вам багато властивостей концепції за замовчуванням. Приклади варіюються від

"які екземпляри по суті є однаковими --- ізоморфізмом",
"який із цих двох примірників більше, а який менше --- пара-відтягування секції",
"Скільки основних елементів знаходиться в цьому екземплярі? --- домашній набір від термінального об'єкта"

і так далі.

Щодо питання, яке ви задаєте у коментарі

Який математичний процес / структура є теорією категорій теорією?

$\mathsf{Cat}$

— Апіват Шантавібул
джерело

Хм. Я не розумію, як саме, якщо ми знаємо категорію структури, ми знаємо все про цю структуру. Ми не знаємо, якими аксіомами відповідає структура?

— user56834

@ Programmer2134 Переосмислення теорії множин Тома Ленстера (це підсумок роботи Lawvere) - хороший приклад. Робота визначає саму теорію множин, визначаючи властивості (морфізмів) категорії множин (без доступу «всередині» до будь-яких об’єктів для доступу до будь-якого попереднього припущення, яке ми могли б мати про множини.)

— Apiwat Chantawibul

Отже, ви говорите, що жодної інформації про теорію множин не втрачається, лише розглядаючи категорію множин, забуваючи при цьому її аксіоми?

— user56834

@ Programmer2134 Так, насправді це більше нагадує аксіоми, що визначають теорію множин ZFC, переведену на суто властивості морфізмів. Отже, ця категорія, яку ми стверджуємо, має деякі властивості щодо морфізмів, визначає теорію множин.

— Apiwat Chantawibul

Чи знаєте ви з тексту, який конкретно пояснює цей пункт про теорію категорій чітко?

— user56834

1

Набори

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Філософія. Набори мають внутрішню структуру - вони повністю визначаються своїми елементами.

Зауваження. Аксіоматична система, яку широко використовують теоретики множин, - це ZFC. Його сила полягає у простоті: існують лише набори та відношення до членства. З іншого боку, багато математиків вважають, що це призводить до набору концепцій, що розходяться від їх розуміння та використання множин (порівняйте нижче Ленстера ). Фактично, що переважна більшість математиків (крім теоретиків безлічі), схоже, не використовують аксіоми ZFC. Однак набори не обов'язково стосуються ZFC (див. Нижче категорії та ETCS).

Категорії

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Філософія. Об'єкти категорії апріорі не мають внутрішньої структури. Вони просто характеризуються своїми відносинами (морфізмами) до інших об'єктів.

Зауваження. Основне поняття категорій - функція, і це збігається з використанням множин переважною більшістю математиків. Тому ви можете бачити категорії як концептуальне узагальнення того, як (більшість) математиків із самих різних галузей використовують набори у своїй щоденній роботі. Крім категорій (і топосів) в якості узагальнення можна подивитися на аксіоматичної системи ETCS, яка аксіоматізірующіх набори (порівняйте нижче Лейнстер і Ловере ).

Питання. Яка різниця між твердженням x - це група, порівняно з тим, що x - у категорії Grp?

$x$ $x$

Критики

У випадку ZFC та ETCS ці підходи можна перекласти один у одного, хоча ETCS слабкіший за ZFC, але (здавалося б) охоплює більшість математики (див. MathStackExchange та Leinster). В принципі (використовуючи розширення ETCS), ви можете довести однакові результати при обох підходах. Отже, згадані вище філософії обох концепцій не претендують на принципову відмінність у тому, що ви можете висловити чи які результати ви можете довести.

Вирази набір і статус в ZFC є абстрактними поняттями, як і поняття категорій або будь-який інший аксіоматичної системи і може означати що завгодно. Отже, з цієї формальної точки зору, стверджувати, що ZFC стосується внутрішньої структури множин, тоді як категорії, що стосуються зовнішніх відносин об'єктів один до одного, видаються недоречними. З іншого боку, це здається філософією чи інтуїцією цих теорій.

Однак на практиці ви віддасте перевагу певному підходу, наприклад, для ясності чи простоти, або тому, що якась концепція або зв'язок з іншою областю розвивається природніше, ніж деінде.

Список літератури

Співак. Теорія категорій для вчених

Ленстер. Переосмислення теорії множин

Елементарна теорія категорії множин

MathStackExchange.Категорія теорії без наборів

— FWE
джерело