Мови, які задовольняють насосну лему, але не є регулярними?

З огляду на регулярну мову , то легко довести, що існує константа N така, що σ ∈ L , при | σ | ≥ N існують рядки α , β і γ такі, що | α β | ≤ N і | β | ≠ ϵ , а для всіх k це α β k γ ∈ $L$$N$$\sigma \in L$$\lvert \sigma \rvert \ge N$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lvert \alpha \beta \rvert \le N$$\lvert \beta \rvert \ne \epsilon$$k$$\alpha \beta^k \gamma \in L$. Широко зазначається, що зворотне не відповідає дійсності, але я не бачив чіткого прикладу. Будь-які пропозиції? Зрозуміло, що доказ того, що мова-образливість не є регулярною, має використовувати більш сильні методи, ніж типові "не задовольняє накачувальну лему". Мені були б цікаві прості приклади, щоб представити на вступних уроках формальних мов.

Мова здається простою. Друга частина є регулярною (і може перекачуватися). Перша частина є нерегулярною, але її можна перекачати "у" другу частину, вибравши $ для прокачування.$\{ \$ a^nb^n \mid n \ge 1 \} \cup \{ \$^kw \mid k\neq 1, w\in \{a,b\}^* \}$$\$$

(додано) Звичайно, це можна узагальнити до для будь-якого L ⊆ { a , b } ∗ . Іноді формулювання складається у стилі "якщо ... тоді ...": якщо w починається з одного $, то воно має форму. Що я особисто вважаю менш інтуїтивним.$\$L \cup \{ \$^k \mid k\neq 1 \} \cdot \{a,b\}^*$ $L\subseteq \{a,b\}^*$$w$$\$$

Як зазначає @vonbrand, (можливо) нерегулярну частину мови виділяють шляхом перетину з . Це можна окремо перевірити, використовуючи насосну лему, якщо це необхідно.$\$\{a,b\}^*$