Приклади складних рекурсивних алгоритмів

Я пояснював другові відомий детермінований алгоритм вибору лінійного часу (медіана алгоритму медіанів).

Рекурсія в цьому алгоритмі (хоча і дуже проста) є досить складною. Є два рекурсивні дзвінки, кожен з різними параметрами.

Я намагався знайти інші приклади таких цікавих рекурсивних алгоритмів, але не зміг знайти жодного. Всі рекурсивні алгоритми, які я міг би придумати, це або прості хвостові рекурсії, або прості поділи та підкорення (де два виклики "однакові").

Чи можете ви навести кілька прикладів складних рекурсій?

Моя улюблена повторюваність виявляється у чутливих до виходу алгоритмах для обчислення опуклих корпусів, спочатку Кіркпатріком та Сейделем , але пізніше повтореними іншими. Нехай позначає час обчислення опуклого корпусу з n точок у площині, коли опуклий корпус має h вершин. (Значення h невідомо заздалегідь, окрім тривіального зв'язаного h ≤ n .) Алгоритм Кіркпатріка та Зейделя дає повторення T ( n , h ) = { O ( n ), $T(n,h)$$n$$h$$h$$h\le n$ деn1,n2≤3n/4іn1+n2=nіh1+h2=

$$T(n,h) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } h \le 3 \\ T(n_1, h_1) + T(n_2, h_2) + O(n) & \text{otherwise} \end{cases}$$ $n_1, n_2 \le 3n/4$$n_1 + n_2 = n$$h_1 + h_2 = h$ .

Рішення . Це трохи дивно, оскільки h - це не розділений параметр рівномірно. Але насправді найгірший випадок рецидиву трапляється, коли h 1 і h 2 обидва про h / 2 ; якщо якось магічно h 1 завжди постійний, рішення буде T ( n , h ) = O ( n ) .$T(n,h) = O(n\log h)$$h$$h_1$$h_2$$h/2$$h_1$$T(n,h) = O(n)$

Я використовував варіант цього повторення в одній з моїх перших обчислювальних топологічних робіт :

$$T(n,g) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } g = 0\\ T(n_1, g_1) + T(n_2, g_2) + O(\min\{n_1, n_2\}) & \text{otherwise} \end{cases}$$ де і g 1 + g 2 = g . Знову ж таки, рішення - O ( n log g ) , інайгіршийвипадок виникає, коли і n, і g завжди розподіляються рівномірно.$n_1 + n_2 = n$$g_1 + g_2 = g$$O(n\log g)$$n$$g$

Рекурсія, яку я використав у своїй роботі "Алгоритм лінійного часу для обчислення діаграми Вороного на опуклий багатокутник" Аггарваль та ін , також є досить складною.

Ось опис алгоритму з нашої роботи. Якщо це не зрозуміло з опису, на кроці 3 червоні точки діляться на малинові та гранатні точки. Етапи 1, 3 і 6 - це лінійний час. Також ми знаємо, що якщо - загальна кількість балів, | Б | ≥ α n , | R | ≥ β n , та | C | ≥ γ n для деяких α , β , γ > 0 .$n$$|\mathrm{B}| \geq \alpha n$$|\mathrm{R}| \geq \beta n$$|\mathrm{C}| \geq \gamma n$$\alpha, \beta, \gamma > 0$

Я дозволю вам зрозуміти, чому весь алгоритм займає лінійний час.

1. Розділіть початкові точки на сині та червоні множини B та R.
2. Рекурсивно обчислюють опуклий корпус синіх точок.
3. Використовуючи структуру блакитного корпусу, виберіть малинові точки C.
4. Додайте багряні точки до синього корпусу по одному.
5. Рекурсивно обчислюють опуклий корпус гранатних точок G.
6. Об'єднайте цей корпус граната з розширеним синім корпусом кроку 4.

Те, що робить алгоритм лінійним - це можливість додавати фіксовану частку червоних точок до синього корпусу при постійній вартості за очко. Додані бали - малинові.

$$T(n) = T(|B|) + T(|G|) + O(n)$$ $|B|$$|G|$ але гарантовано це $|B| + |G| \leq (1-\gamma) n$.

There is a variation on the median finding recurrence that comes from range searching with halfplanes. The recurrence itself is of the form

$$T(n) = T(n/2) + T(n/4) + cn$$ which is similar to the median-finding recurrence. For more on this, look at Jeff Erickson's lecture notes and in particular Section 4.

Існує купа крутих рекурсивних алгоритмів [1], [2], які використовуються для прогнозування вторинної структури РНК. Залишивши власні пристрої, ланцюжок РНК утворюватиме основи з собою; один порівняно простий приклад з [3] обчислює максимальну кількість вкладених, парних баз, що утворює рядок РНК із собою:

$M(i,j)=\underset{i\leq k < j - L_{min}}{max} \begin{cases} M(i,k-1)+ M(k+1, j-1)+1 \\M(i, j-1) \end{cases}$

---

1. Optimal computer folding of large RNA sequences using thermodynamics and auxiliary information by M. Zuker, P. Stiegler (1981)

2. A Dynamic Programming Algorithm for RNA Structure Prediction Including Pseudoknots by E. Rivas, S. R. Eddy (1999)

3. Fast algorithm for predicting the secondary structure of single-stranded RNA by R. Nussinov, A. B. Jacobson (1980)

I still don't really understand what you mean by "sophisticated recursion". For example, the recursion step in the FFT algorithm is sophisticated!

Але якщо ви хочете шукати більш складну рекурсію, то взаємна рекурсія може бути однією з можливих відповідей. Взаємна рекурсія корисна при роботі з мовами функціонального програмування . Взаємна рекурсія є ключовою особливістю рекурсивних аналізаторів спуску .

Маккарті 91 функціонує вгорі голови

F(N) = 
    n - 100    if n > 100
    F(F(n+11)) if n <= 100

і функція Акермана

A(m, n) = 
    n + 1             if m = 0
    A(m-1, 1)         if m > 0 and n = 0
    A(m-1, A(m, n-1)) if m > 0 and n > 0

можна вважати неперевершеними, хоча іграшковими, рекурсивними функціями.