Повна щільна мова NP передбачає P = NP

Ми говоримо , що мова є щільним , якщо існує такий поліном р такою , що | J c ∩ Σ n | ≤ р ( п ) для всіх п ∈ N . Іншими словами, для будь-якої заданої довжини п існують тільки поліноміальний безліч слів довжини п , які не є в J $J \subseteq \Sigma^{*}$$p$

Проблема, яку я зараз вивчаю, просить показати наступне

Якщо існує щільна -повна мова, то P = N $NP$$P = NP$

У тексті пропонується розглянути скорочення полінома до - S A T, а потім побудувати алгоритм, який намагається задовольнити задану формулу C N F, а також генеруючи елементи в J c$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

Що мені цікаво

Чи є більш прямий доказ? Чи відоме це поняття в більш загальній обстановці?

Це приємна проблема домашнього завдання щодо теореми Махані.

Зауважте, що доповненням "щільної" мови є рідкісна мова. Більше того, якщо мова є -комплектною, її доповненням є c o N P -комплектною.$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Якщо є "щільна" -комплектна мова, існує рідкісна c o N P -повна мова.$\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Теорема Махейні говорить нам , що немає розрідженого -повний мови , якщо P = N P .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Ми можемо прийняти доказ, щоб показати, що немає рідкого -повної мови, якщо P = c o N P, що еквівалентно P = N P (оскільки P закритий під доповненнями).$\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Таким чином, відповідь немає , якщо . Зауважте, що якщо P = N P, то кожна нетривіальна мова є N P -повною.$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ps: Ви можете спробувати наступне, а потім використати теорему Мейні: існує розріджений -повний набір iff, якщо є рідкий c o N P -повний набір. Однак я сумніваюся, що доказ цього твердження буде набагато простішим, ніж доказ теореми Махані.$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Як було сказано вище згідно теореми Махані . Розріджені і щільні мови не можуть бути , якщо Р = Н Р .$NP-Hard$$P=NP$

Згаданий проект містить повне підтвердження.