Версія для оптимізації проблем вирішення

Відомо, що кожна проблема оптимізації / пошуку має еквівалентну проблему рішення. Наприклад, проблема найкоротшого шляху

• версія оптимізації / пошуку: Давши ненаправлений невагомий графік та дві вершини , знайдіть найкоротший шлях між і .G = ( V , E ) v , u ∈ V v $G = (V, E)$$v,u\in V$$v$$u$
• версія рішення: З огляду на непрямий невагомий графік , дві вершини і невід'ємне ціле число , чи існує шлях між і , довжина якого становить не більше ?G = ( V , E ) v , u ∈ V k G u v $G = (V, E)$$v,u\in V$$k$$G$$u$$v$$k$

Загалом, "Знайди st !" стає "Чи є x \ у X st f (x) \ leq k ?".$x^*\in X$ f ( x ∗ ) = min { f ( x ) ∣ x ∈ X } x ∈ X f ( x ) ≤ $f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$$x\in X$$f(x) \leq k$

Але чи справедливо і зворотне, тобто чи існує однакова проблема оптимізації для кожної проблеми рішення? Якщо ні, що є прикладом проблеми рішення, яка не має еквівалентної проблеми оптимізації?

Як вже було сказано в коментарях, це залежить від визначень, як зазвичай. Моя спроба відповісти на це потребує досить кількох визначень, тож це буде ще одним прикладом моєї нездатності дати стислі відповіді.

Визначення: завдання оптимізації є кортеж з$(X,F,Z,\odot)$

• $X$ набір відповідно кодованих (рядків) екземплярів або входів .
• F x ∈ $F$ є функцією , яка відображає кожен екземпляр до безлічі F ( х ) з можливих рішень по ї .$x\in X$$F(x)$$x$
• $Z$ є цільовою функцієюяка відображає кожну пару$(x, y)$ , де$x \in X$ і$y\in F(x)$ , щоб дійсне число$Z(x, y)$ називаєтьсязначеннямпо$y$ .
• $\odot$ -напрям оптимізації, або$\min$ або$\max$ .

Визначення: оптимальне рішення примірника $x\in X$ завдання оптимізації $P_O$ є допустимим рішенням $y\in F(x)$ , для яких $Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$ . Значення оптимального рішення позначається з $Opt(x)$і називається оптимальним .

Визначення: Проблема з оцінкою , позначена $P_E$ , що відповідає задачі оптимізації $P_O$ , така: Дано екземпляр $x\in X$ , обчисліть $Opt(x)$ якщо $x$ має оптимальне рішення, і в іншому випадку виведіть "немає оптимального рішення".

Зауважимо, що це просто запитує значення оптимального рішення не всього рішення, а також усіх його деталей.

Визначення: Проблема рішення , позначена P D, що відповідає задачі оптимізації P O, є наступною: Давши пару ( x , k ) , де x ∈ X і k ∈ Q , вирішують, чи має x можливе рішення y таке, що Z ( x , y ) ≤ k, якщо ⊙ = min і таке, що Z ( x , y $P_D$$P_O$$(x, k)$$x\in X$$k\in\mathbb{Q}$$x$$y$$Z(x, y)\le k$$\odot=\min$≥ k, якщо ⊙ = макс .$Z(x, y)\ge k$$\odot=\max$

Перше спостереження полягає в тому, що в даний час Р Про ∈ N P O ⇒ P D ∈ N P . Доказ тут не важкий і опущений.$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

Тепер інтуїтивно P E і P D, відповідні P O , не складніше, ніж сам P O. Щоб висловити це почуття формально (тим самим визначивши, що має означати еквівалент ), ми будемо використовувати скорочення.$P_E$$P_D$$P_O$$P_O$

Нагадаємо, що мова L 1 є многочленним часом, зведеним до іншої мови L 2, якщо є функція f , обчислювана в поліноміальний час, така, що для всіх слів x , x ∈ L 1 ⇔ f ( x ) ∈ L 2 . Цей вид приводимості відомий як Карп або прискіпливість багатьох до одного , і якщо L 1 таким чином приводиться до L 2 , ми виражаємо це, записуючи L 1 ≤ m L $L_1$$L_2$$f$$x$$x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$$L_1$$L_2$$L_1\le_m L_2$. Це центральне поняття у визначенні NP-повноти.

На жаль, багато-до одного скорочення відбувається між мовами, і не ясно, як їх використовувати в контексті проблем оптимізації. Тому нам потрібно розглянути інший вид скорочуваності, придатність Тюрінга . Спочатку нам це потрібно:

Визначення: оракула для проблемного P є (гіпотетичної) підпрограмою , яка може вирішити екземпляри Р в постійна час.$P$$P$

Визначення: Проблема P 1 - поліноміально-часовий термін, зводиться до задачі P 2 , записаної P 1 ≤ T P 2 , якщо екземпляри P 1 можуть бути вирішені в поліноміальний час алгоритмом з доступом до оракула для P 2 .$P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$

Неофіційно, як і у ≤ m , відношення P 1 ≤ T P 2 виражає, що P 1 не складніше, ніж P 2 . Неважко також помітити, що якщо P 2 можна розв’язати за багаточленним часом, то і P 1 . Знову ≤ T - перехідне відношення. Наступний факт очевидний:$\le_m$$P_1\le_T P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$\le_T$

Нехай P O ∈ N P O , то Р Д ≤ Т Р Е ≤ T P O .$P_O\in \mathrm{NPO}$$P_D\le_T P_E\le_T P_O$

Тому що з урахуванням повного рішення, обчислити його значення та вирішити, чи відповідає він пов'язаному k просто.$k$

Визначення: Якщо для двох задач P 1 і P 2 обидва відношення P 1 ≤ T P 2 , P 2 ≤ P 1 утримуємо, запишемо P 1 ≡ T P 2 ; наше поняття еквівалентності .$P_1$$P_2$$P_1\le_T P_2$$P_2\le P_1$$P_1\equiv_T P_2$

Тепер ми готові довести, що P D ≡ T P E з огляду на відповідну задачу оптимізації P O ∈ N P O, а Z ціле число. Треба показати, що P E ≤ T P D справедливо. Ми можемо визначити ⊙ { Z ( х , Y ) | у ∈ F ( х ) } з бінарним пошуком usign в Orcale для P D . визначення N$P_D\equiv_T P_E$$P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_E \le_T P_D$$\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$$P_D$$\mathrm{NPO}$ забезпечує, що | Z(x,y) | ≤ 2 q ( | x | ) для деякого многочленаq, тому кількість кроків у двійковому пошуку є поліном у | х | . $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$$q$$|x|$$\Box$

Для проблеми оптимізації P O відношення до P E менш чітке. У багатьох випадках конкретних, можна показати , що безпосередньо Р D ≡ Т Р Е ≡ T P O . Щоб довести, що це в цілому відповідає рамкам, поданим тут, нам потрібно додаткове припущення.$P_O$$P_E$$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

Спочатку нам потрібно поширити ≤ m від пар мов до пар відповідних задач рішення. Тоді легко побачити, що ≤ T є загальнішим, ніж ≤ m .$\le_m$$\le_T$$\le_m$

Нехай Р і Р ' - проблеми з рішенням; тоді P ≤ m P ′ ⇒ P ≤ T P ′ . Це справедливо, тому що багатозначне скорочення можна інтерпретувати як використання оракула дуже обмеженим чином: оракул викликається один раз, в самому кінці, і його результат також повертається як загальний результат. $P$$P'$$P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$$\Box$

Тепер ми готові до фіналу:

Нехай P O ∈ N P O і припустимо , що Z є цілочисельним і що Р D є NP-повною, то Р D ≡ Т Р Е ≡ Т Р Про . З попередніми спостереженнями залишається показати P ущільнювача ≤ T P E . Для цього ми будемо проявляти проблему P ' O ∈ N P O таке , що P O ≤ T P ' E . Тоді маємо$P_O\in \mathrm{NPO}$$Z$$P_D$

Тепер деталі: Припустимо, що можливі рішення P O кодуються за допомогою алфавіту Σ, забезпеченого загальним порядком. Нехай w 0 , w 1 , ... - слова з Σ ∗, перелічені в порядку зменшення довжини та лексикографічного порядку в блоках слів із загальною довжиною. (Таким чином, w 0 - порожнє слово.) Для всіх y ∈ Σ ∗ нехай σ ( y ) позначає єдине ціле число i таке, що y = w i . Обидва $P_O$$\Sigma$$w_0, w_1, \ldots$$\Sigma^*$$w_0$$y\in\Sigma^*$$\sigma(y)$$i$$y=w_i$$\sigma$і σ - 1 можна обчислити в поліноміальний час. Нехай q - поліном такий, що для всіх x ∈ X і всіх y ∈ F ( x ) маємо σ ( y ) < 2 q ( | x | ) .$\sigma^{-1}$$q$$x\in X$$y\in F(x)$$\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

Тепер задача P ′ O тотожна P O, за винятком модифікованої цільової функції Z ′ . Для x ∈ X і y ∈ F ( x ) беремо Z ′ ( x , y ) = 2 q ( | x | ) ⋅ Z ( x , y ) + σ ( y ) . Z $P_O'$$P_O$$Z'$$x\in X$$y\in F(x)$$Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$$Z'$ is computable in polynomial time thus $P_O'\in \mathrm{NPO}$.

To show that $P_O\le_T P_E'$ we observe that $x$ is feasible for $P_O$ if and only if it is feasible for $P_E'$. We can assume that this is the case, since the opposite case is trivial to handle.

The substituion of $Z'$ for $Z$ is monotonic in the sense that for all $y_1, y_2\in F(x)$, if $Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$ then $Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$. This implies that every optimal solution for $x$ in $P_O'$ is an optimal solution of $x$ in $P_O$. Thus our task reduces to the computation of an optimal solution $y$ of $x$ in $P_O'$.

Querying the oracle for $P_E'$ we can get the value of $Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$. Forming the remainder of this number modulo $2^{q(|x|)}$ yields $\sigma(y)$ from which $y$ can be computed in polynomial time.

Як говориться в коментарях, відповідь залежить від точних визначень. Дозвольте мені інтерпретувати питання дуже елементарно (навіть наївно).

Let $S$ be some relation, that is $S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$.

Now we define a search problem for $S$:

Given $a$, find a $b$ such that $(a,b) \in S$.

and a decision problem for $S$:

Given $(a,b)$ answer whether or not $(a,b) \in S$.

_{(for instance, in the example given in the question, $S$ will hold all the pairs $(u,v,k)$ such that there exists a path between $u$ and $v$ which is shorter than $k$.)}

Note that these two problems are well defined. For this definition, we can ask whether the two problems are "equivalent" for any $S$. In "equivalent" I mean that if one of them is computable (i.e., there exists an algorithm that solves it) than the other one is computable as well. In general, they are not.

Claim 1: Decision implies Search.

Proof: Let $D_S$ be the algorithm that solves the decision problem of $S$. Given an input $a$, We can run $D_S(a,x)$ for any $x\in \Sigma^*$, one after the other, or in parallel. If there exists $b$ such that $(a,b)\in S$, we will eventually find it. If not, the algorithm might not stop$^\dagger$.

Claim 2: Search does not imply Decision.

Причина полягає в тому, що алгоритм пошуку може повернути b, відмінний від потрібного нам. Тобто, для кожного a є деякий b, який дуже легко знайти, а інший b ' - ні. Наприклад, нехай L є якоюсь неозначеною мовою, а потім визначимо S = { ( x , 0 ) ∣ x ∈ Σ ∗ } ∪ { ( x , 1 ) ∣ x ∈ L } . Для кожного $b$$a$$b$$b'$$L$

† Це залежить від S . Наприклад, якщо S обмежений, може існувати алгоритм, який зупиняється.$^\dagger$$S$$S$