Цікава проблема сортування

Дано трубку з пронумерованими кульками (випадковим чином). У трубці є отвори для видалення кульки. Розгляньте наступні кроки для однієї операції:

1. Ви можете вибрати одну або кілька кульок з отворів і запам’ятати порядок, в якому ви вибирали кульки.
2. Потрібно нахилити трубу вліво, щоб залишилися кульки в трубі зміщувалися вліво і займали порожній простір, створений видаленням кульок.
3. Ви не повинні змінювати порядок, коли ви вибирали нумеровані кульки з труби. Тепер ви знову помістите їх у трубу, використовуючи вільний простір, створений рухом кульок.

Етапи 1 - 3 розглядаються як одна операція.

Дізнайтеся мінімальні операції, необхідні для сортування пронумерованих куль у порядку зростання.

Наприклад: Якщо трубка містить: $[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

Тоді ми можемо вийняти $4$ і $5$ і $6$ , і якщо нахилити трубу вліво, отримуємо $[1\ 2\ 3]$ , і вставляємо $(4\ 5\ 6)$ в такому порядку до кінця труби, щоб дістати $[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$ .

Отже мінімальна кількість необхідних кроків - 1. Мені потрібно знайти мінімальні операції, щоб сортувати трубу.

Будь-які ідеї чи підказки, як вирішити цю проблему?

Визначте номер перегону для запуску перестановки π , позначений r ( π ) , використовуючи наступний процес. Нехай k - максимальне ціле число, таке, що числа min ( π ) , … , k з'являються у порядку збільшення у π . Видаліть їх з π та повторіть процес. Кількість раундів, необхідних для споживання всієї перестановки, становить r ( π ) .$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

Наприклад, давайте обчислимо r ( 62735814 ) . Ми спочатку відклали 1 , щоб отримати 6273584 . Потім відкладаємо 234 , щоб отримати 6758 . Потім відкладаємо 5 , щоб отримати 678 . Нарешті, ми відклали 678, щоб отримати порожню перестановку. Це займає чотири раунди, тому r ( 62735814 ) = $r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$ .

Чим це представлення корисне для сортування 62735814 ? Виконайте кожен другий запуск, тобто 234 , 678 , і перемістіть ці числа вправо, щоб отримати 51627384 (відредагуйте: у порядку, який вони відображаються в перестановці, тобто 627384 ). Зараз є лише два запуски, а саме 1234 , 5678 , і ми можемо сортувати список, перемістивши $62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$ праворуч.

Тепер дозвольте зробити наступну гіпотезу: Для перестановки π дозвольте Π сукупність усіх перестановок, доступних від π за один хід. Тоді min α ∈ Π r ( α ) = ⌈ r ( π ) / 2 ⌉ .$\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

Враховуючи цю гіпотезу, легко показати, що мінімальна кількість рухів, необхідних для сортування перестановки π, є ⌈ log 2 r ( π ) ⌉ , і я перевірив цю формулу для всіх перестановок у S n для n ≤ $\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$ .

Edit: Ось інша інтерпретація числа вступного розділу , який дає лінійний алгоритм для обчислення часу, і дозволяє мені начерк докази моєї гіпотези, таким чином перевіряючи формулу ⌈ вхід 2 г ( л ) ⌉ .$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

Розглянемо перестановку 62735814 ще раз. Причина того, що перший запуск закінчується в 1, полягає в тому, що 2 з'являється перед 1 . Аналогічно, другий запуск закінчується в 4, оскільки 5 з'являється перед 4 і так далі. Отже, номер перемикання запуску перестановки є числом i s таким, що i + 1 з'являється перед i .$62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

Про це ми можемо констатувати більш лаконічно, якщо подивитися на зворотну перестановку. Розглянемо ще раз π = 62735814 . Візьміть π - 1 = 72485136 . Ця перестановка має три спуски: 7 2 48 5 1 36 (спуск - це положення, менше попереднього). Кожен із спусків відповідає початку нового пробігу. Тож r ( π ) дорівнює одиниці плюс кількість спусків у π - 1 .$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

Як виглядає операція з точки зору π - 1 ? нехай B - це множина чисел, яку ми рухаємо праворуч, а A - множина чисел, що залишаються зліва. Заміняємо числа в A перестановкою на { 1 , … , | А | }, що представляє їх відносний порядок, і замініть числа в B перестановкою на { | А | + 1 , … , | А | + | Б | $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$. Наприклад, розглянемо хід $\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$. In terms of the inverse permutations, it's $7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$. So $75$ was mapped to $21$ and $248136$ was mapped to $468357$.

A descent $\ldots xy \ldots$ in $\pi^{-1}$ is lost after the operation only if $x \in A$ and $y \in B$. Conversely, in terms of $\pi^{-1}$, the partition into $A$ and $B$ corresponds to $A$-runs and $B$-runs; every time a $B$-run ends and an $A$-run begins, there is a descent. In order to "kill" a descent, we have to switch from an $A$-run to a $B$-run. If we kill two descents, we will have switched in the middle from a $B$-run to an $A$-run, incurring a descent.

This argument can be formalized to show that if $\alpha$ arises from $\pi$ via an operation, then $d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$, where $d(\cdot)$ is the number of descents. This is equivalent to $r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$, thus proving one direction of my conjecture. The other direction is easier, and was already outlined above: we simply take every second run and push these runs to the right to get a permutation $\alpha$ satisfying $r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$.