Незалежний набір на кубічні трикутники без графіків

Я знаю, що максимальний незалежний набір у графах без кубічних трикутників є NP-повним.

Чи все-таки NP-повний, якщо ми вимагаємо, щоб незалежний набір був розміром саме ? $|V|/2$

В основному, YES екземпляр незалежної задачі задачі на кубічні трикутники без задач графіків повинен мати рівно вузлів. Екземпляр NO не має незалежного набору розміром менше . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

cs.stackexchange.com/questions/1176/… може бути релевантним.

— Луї

Що таке НЕ випадки?

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Він просить проблему є $\alpha(G) = |G| / 2$ де

- це порядок графіка. Потрібно мати можливість встановити на графіку кілька ізольованих вершин, щоб збільшити число незалежності. Мохаммеде, ти знаєш зменшення? Чи не можна додати

ізольованих вершин, щоб отримати шукане скорочення?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— Pål GD

Ні, у мене немає скорочення.

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ PålGD Зниження не буде працювати, оскільки звичайна проблема запитує, чи

а не

. Насправді навіть не зрозуміло, що проблема в НП.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Yuval Filmus

Почнемо з доведення, що максимальний незалежний набір має розмір щонайбільше . Нехай буду самостійним набором. Для кожної вершини , нехай буде число його сусідів . Якщо , то ми знаємо , що . Оскільки графік кубічний, . Оскільки $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ , кількість вершин, таких що , принаймні. Звідси . $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

Коли ми можемо мати рівність? Ми повинні мати , так що для кожної вершини не в , все його сусіди повинні бути в . Зворотне також вірно - для кожної вершини , все його сусіди не . Іншими словами, графік повинен бути двостороннім. Це можна перевірити в многочлен. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Юваль Фільм
джерело

YuvalFilmus Спасибі велике. Це дає алгоритм багаточленного часу для моєї проблеми?

— Мохаммед Аль-Туркстані

Я так думаю - ви згодні?

— Yuval Filmus