Яке співвідношення між функторами в SML та теорії категорій?

З тієї ж думки , як ця заява по Andrej Bauer в цьому відповіді

Громада Хаскелла розробила низку методик, натхнених теорією категорій, з яких монади найбільш відомі, але не повинні плутати їх з монадами .

Яке співвідношення між функторами в SML та функторами в теорії категорій?

Оскільки я не знаю про деталі функторів іншими мовами, такими як Haskell або OCaml, якщо є ціннісна інформація, будь ласка, додайте також розділи для інших мов.

Категорії утворюють (велику) категорію, об'єктами якої є (малі) категорії, морфізми яких є функціоналами між малими категоріями. У цьому сенсі функтори в теорії категорій - це "великі морфізми".

ML-функтори - це не функтори в категоричному сенсі цього слова. Але вони є "функціями більшого розміру" у теоретико-теоретичному сенсі.

Подумайте про конкретні типи даних у типовій мові програмування як "малі". Таким чином int, boolі int -> intт. Д. Невеликі, заняття в java невеликі, як і структури в C. Ми можемо зібрати всі типи даних у велику колекцію, що називається Type. Конструктор типу, такий як listабо arrayє функцією від Typeдо Type. Отже, це "велика" функція. Функція ML - лише трохи складніша велика функція: вона приймає в якості аргументу кілька дрібних речей і повертає кілька дрібних речей. "Кілька дрібних речей, зібраних разом" відома як структура в ML. З точки зору теорії типу Мартіна-Лефа, ми маємо Всесвіт Type малих типів. Великі типи зазвичай називають видами . Отже, ми маємо:

1. Значення - це елементи типів (приклад 42 : int:)
2. типи - це елементи Type(приклад int : Type:)
3. Підписи ML - види (наприклад OrderedType:)
4. конструктори типу - це елементи типу (наприклад list : Type -> Type:)
5. ML СТРУКТУР є елементами видів (приклад: String : OrderedType)
6. ML функтори функції між видами (наприклад Map.Make : Map.OrderedType -> Make.S)

Тепер ми можемо провести аналогію між ML та категоріями, згідно з якими функтори відповідають функторам. Але ми також помічаємо, що типи даних в ML є як "малі категорії без морфізмів", іншими словами вони схожі на множини більше, ніж вони схожі на категорії. Тоді ми могли б використати аналогію між ML та теорією множин:

1. типи даних - це як набори
2. види схожі на множинно-теоретичні класи
3. функтори - це як функції розміру класу

Стандартна структура МЛ схожа на алгебру . Його підпис описує цілий клас алгебр подібної форми.

$F : {\bf Mon} \to {\bf Grp}$$F : {\bf Ab} \to {\bf Rng}$

Більшість цих ідей було опрацьовано у серіях робіт Берсталла та Гогуена при розробці мови специфікації під назвою CLEAR (Посилання c5 та c6 на сторінці DBLP .) Девід МакКуїн працював спільно з Берсталлом та Саннеллою в той час, і був тісно знайомий з питаннями. Система модулів Standard ML заснована на цих ідеях.

Що більшість людей буде дивуватись, а що про морфізми? Категорії теоретичні функтори мають предметну частину та частину морфізму. Чи мають однакові стандартні функціонери ML? Відповідь ТАК і НІ.

• Частина відповіді ТАК застосовується, якщо структури першого порядку. Потім між різними структурами одного і того ж підпису виникають гомоморфізми, а стандартні функціонери ML автоматично відображають їх у гомоморфізми підпису результату.
• НЕТ частина відповіді застосовується, коли структури мають операції вищого порядку.

Чи означає це, що Standard ML відхиляється від теорії категорій? Я не думаю, що так. Я вважаю за краще, що Standard ML робить все правильно, і теорія категорій ще не наздогнала. Теорія категорій ще не знає, як поводитися з функціями вищого порядку. Якогось дня це буде.

Наскільки мені відомо, офіційного зв'язку між функторами в теорії категорій та функторами в ML (SML або OCaml, вони недостатньо близькі для нашої мети тут).

У теорії категорій функтори - це функції, які діють на об'єкти. Вони на один рівень вище морфізмів, які часто є функціями, що діють на елементах (у багатьох категоріях є об'єкти, які є наборами з деякою алгебраїчною будовою, і стрілки, які є гомоморфізмами між цими структурами). Функтор ML - це функція, яка працює на модулях, на один рівень вище функцій, які працюють на основних мовних значеннях. Я думаю, схожість тут зупиняється.

Функтори ML були хрещені Дейвом МакКуїном в його перегляді 1985 р. Модулів для стандартного ML (citeseerx), що з'явилися в бюлетені « Поліморфізм» (в оригінальній статті використовувався вираз «параметричний модуль» - пізніші публікації, як правило, використовують прикметник «параметризований»). На жаль, я не можу знайти його копію. У своїй роботі 1986 р. Використання залежних типів для вираження модульної структури (citeseerx) він дає назву як встановлену.