Показано, що мінімальне вилучення вершин у двосторонньому графіку не відповідає NP

Розглянемо наступну проблему, вхідним екземпляром якої є простий графік та натуральне ціле число k .$G$$k$

Чи є такий набір такий, що G - S двосторонній і | S | ≤ k ?$S \subseteq V(G)$$G - S$$|S| \leq k$

Я хотів би показати, що ця проблема є -комплектною, зменшуючи до неї 3-SAT, k -CLIQUE, k -DOMINATING SET або k -VERTEX COVER.$\rm{NP}$$k$$k$$k$

Я вважаю, що я можу звести до нього 3-КОЛОРОВНУ проблему, тому мені потрібно було б лише зрозуміти, як зменшити до неї одну із згаданих проблем. Але оскільки це було б досить безладним, мені цікаво, чи хтось бачить елегантне зменшення вищезазначених проблем.

Також, чи є назва цієї проблеми рішення?

Ваша проблема - це особливий випадок широкого класу проблем, який називається проблемами видалення вузла :

Дж. М. Льюїс та М. Яннакакіс, "Проблема видалення вузла для спадкових властивостей є NP-повною".

... У цій роботі йдеться про клас задач графіків, визначений таким чином:
для фіксованого властивості графіка знайдіть мінімальну кількість вузлів (або вершин), які необхідно видалити з заданого графіка G, щоб результат задовольнив Π . Ми називаємо це проблемою видалення вузла для Π . Наші результати показують, що якщо Π є нетривіальною властивістю, яка є спадковою для індукованого підграфа, то проблема видалення вузла для Π є NP-жорсткою. Крім того, якщо ми додамо умову, що тестування на Π може бути проведено в поліноміальний час, то наші результати означають, що проблема видалення вузла для$\Pi$$G$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$ повна NP. ...$\Pi$

Ваша проблема - проблема видалення вузла для двосторонності , але (як зазначає Pal), вона сьогодні відома як проблема обходу циклу непарних (OCT).

EDIT

Що стосується прямого зменшення, я подумав про це від 3SAT.

З огляду на екземпляр 3SAT з змінними та m умовами , побудуйте наступний графік: додайте два вузли x i , ¯ x i для кожної змінної та край між ними. Для імітації призначення істини, додати п + 1 вузлів для кожної змінної х I і підключити їх обох до х я і ¯ х я ; таким чином, щоб зробити двосторонній графік, видаляючи щонайбільше n вузлів, принаймні один між x i та ¯ x i повинен бути видалений. Нарешті для кожного пункту$n$$m$$x_i, \overline{x_i}$$n+1$$x_i$$x_i$$\overline{x_i}$$n$$x_i$$\overline{x_i}$ додати 4 вузли і побудувати непарний цикл, який з'єднує змінні в C j .$C_j$$C_j$

Отриманий графік можна зробити двостороннім, видаляючи щонайбільше n вузлів, якщо і лише тоді, коли оригінальна формула 3SAT є задоволеною.$G$$n$