Обчислення оберненої матриці при зміні елемента

18

Дано $n \times n$ матрицю . Нехай обернена матриця буде (тобто ). Припустимо, що один елемент у змінено (скажімо, на ). Мета - знайти після цієї зміни. Чи існує метод пошуку цієї мети, який є більш ефективним, ніж перерахунок зворотної матриці з нуля. $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
джерело

Чудові відповіді: Я знайшов наступний документ, який вирішує цю точну проблему: Санковський, Пьотр. "Динамічне перехідне закриття через обернену динамічну матрицю." Основи інформатики, 2004. Праці. 45-й щорічний симпозіум IEEE від. IEEE, 2004.

— AJed

Якщо папір відповідає чи вирішує вашу проблему якимось чином, відповідь додати нормально! :) Зрештою, коментарі можуть бути видалені в будь-який час.

— Juho

12

Формула Шермана-Моррісона може допомогти:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Нехай і , де стандартний векторний базис стовпець. Ви можете перевірити, що якщо оновлена матриця дорівнює то $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Юваль Фільм
джерело

7

$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— adam W
джерело

Гарна відповідь, але наскільки це відрізняється від попереднього Юваля?

— AJed

1

A^{- 1}

$A^{-1}$