Злиття бета-розширення

Нехай - -редукція у -calculus. Визначити -разложеніі по .$\to_\beta$$\beta$$\lambda$$\beta$$\leftarrow_\beta$$t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$

Чи ? Іншими словами, чи маємо ми, що для будь-якого , якщо l \ to_ \ beta ^ * d \ leftarrow_ \ beta ^ * r , то існує u таке, що l \ leftarrow_ \ beta ^ * u \ to_ \ бета ^ * г ?$\leftarrow_\beta$$l,d,r$$l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$$u$$l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$

Ключові слова: вгору впадання, перевернуте властивість CR

Я почав з перегляду слабшого властивості: локального злиття (тобто якщо $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , то $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Навіть якби це було правдою, це не означало б злиття, оскільки $\beta$ розширення не припиняється, але я думав, що це допоможе мені зрозуміти перешкоди.

(Вгору) У випадку, коли обидва скорочення знаходяться на верхньому рівні, гіпотеза стає $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . До $\alpha$ -перейменування можна вважати, що $x_1\not =x_2$ , і що ні $x_1$ ні $x_2$ є вільними в цих умовах.

(Киньте) Якщо $x_1$ не є вільним у $b_1$ , у нас $b_1=b_2[a_2/x_2]$ і тому маємо $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Наївним доказом за допомогою індукції (на $b_1$ та $b_2$ ) для справи (вгорі) було б таке:

• Якщо $b_1$ є змінною $y_1$ ,

  • Якщо , гіпотеза стає , і у нас справді є .$y_1=x_1$$(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$$(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$

  • Якщо , то ми можемо просто використовувати (Throw).$y_1\not=x_1$

• Ті ж докази, що і - змінна.$b_2$

• Для і гіпотеза стає і гіпотеза індукції дає таку, що що означає що . На жаль, у нас немає . (Це змушує мене думати про -reduction.)$b_1=\lambda y.c_1$$b_2=\lambda y.c_2$$(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$$d$$(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$$\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$$\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$$\sigma$

• Аналогічна проблема виникає і для програм: не там, де вони повинні бути.$\lambda$

Два контрприклади:

• $(\lambda x. b x (b c)) c$ і (Плоткін).$(\lambda x. x x) (b c)$
• $(\lambda x. a (b x)) (c d)$ і (Van Oostrom).$a ((\lambda y. b (c y)) d)$

Приклад контрприкладу, детально описаний нижче, наведений у «Обчисленні лямбда: його синтаксис та семантика » HP Barenredgt, перероблене видання (1984), вправа 3.5.11 (vii). Його приписують Плоткіну (немає точної посилання). Я даю незавершене доказ, адаптоване до доказів Вінцента ван Оострома про інший контрприклад, у « Візьміть п'ять: вправа з легким розширенням» (1996) [PDF] .

В основі доказу лежить теорема стандартизації, яка дозволяє розглядати лише бета-розширення певної форми. Інтуїтивно кажучи, стандартне скорочення - це зменшення, яке робить усі його скорочення зліва направо. Точніше, зменшення є нестандартним, якщо є крок , перенаправлення якого є залишком редекса зліва від редекса попереднього кроку ; "Ліворуч" і "праворуч" для редекса визначаються положенням яке усувається при стисненні редексу. Теорема стандартизації свідчить , що там , якщо , то існує стандартне скорочення від до .$M_i$$M_j$$\lambda$$M \rightarrow_\beta^* N$$M$$N$

Нехай і . Обидва терміни бета-зменшити до за один крок.$L = (\lambda x. b x (b c)) c$$R = (\lambda x. x x) (b c)$$b c (b c)$

Припустимо , що існує загальний предок таке , що . Завдяки теоремі стандартизації можна вважати, що обидва скорочення є стандартними. Не втрачаючи загальності, припустимо, що - це перший крок, коли ці скорочення відрізняються. З цих двох скорочень нехай є тим, де перестановка першого кроку знаходиться ліворуч від іншого, і запишіть де є контекстом цього скорочення і - це перенастроювання. Нехай - інше зменшення.$A$$L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$$A$$\sigma$$A = C_1[(\lambda z. M) N]$$C_1$$(\lambda z. M) N$$\tau$

Оскільки є стандартним і його перший крок - праворуч від отвору в , він не може ні в ні ліворуч від нього. Тому кінцевий має форму де частини і зліва від їх отворів однакові, і . Оскільки починається з зменшення на і ніколи не зменшується далі ліворуч, його кінцевий член повинен мати вигляд де частина$\tau$$C_1$$C_1$$\tau$$C_2[(\lambda z. M') N']$$C_1$$C_2$$M \rightarrow_\beta^* M'$$N \rightarrow_\beta^* N'$$\sigma$$C_1$$C_3[S]$$C_3$зліва від її отвори ідентична лівій частині і , а .$C_1$$C_2$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$

Зауважте, що кожен з і містить одну лямбда, що знаходиться зліва від оператора програми на верхньому рівні. Оскільки зберігає лямбда , це лямбда один в залежності від того , з або є остаточним термін , і в цьому плані аргумент застосування виходить за рахунок зменшення . Повторний параметр знаходиться на рівні верхнього рівня, тобто .$L$$R$$\tau$$\lambda z. M$$L$$R$$\tau$$N$$C_1 = C_2 = C_3 = []$

• Якщо закінчується на , тоді , і . Якщо має нащадок в , цей нащадок повинен також звести до , яка є нормальною формою . Зокрема, ні нащадок не може бути лямбда, так не може скорочуватися подтерм виду , де є нащадком . Оскільки єдина підрядність яка зводиться до$\tau$$R$$M \rightarrow_\beta^* z z$$N \rightarrow_\beta^* b c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$$N$$L$$b c$$N$$N$$\sigma$$\check{N} P$$\check{N}$$N$$L$$b c$є , єдиним можливим нащадком в є єдине виникнення самого .$b c$$N$$L$$b c$

• Якщо закінчується на , тоді , , і . Якщо має нащадка в то цей нащадок також повинен зменшуватися до шляхом впадання.$\tau$$L$$M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$$N \rightarrow_\beta^* c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$$N$$R$$c$

На даний момент, висновок повинен слідувати легко згідно ван Oostrom, але я відсутній що - то: я не розумію , як трасування нащадків дає якусь - яку інформацію про . Вибачте за неповний пост, я подумаю про це протягом ночі.$N$$M$

Зауважте, що -редукція може змусити будь-який термін зникнути. Якщо припустити, що змінна не з’являється вільною у терміні , у вас є та для будь-яких термінів та . Як наслідок, той факт, що зворотне зворотне з'єднання є дещо еквівалентним: для всіх термінів і існує термін такий, що і . Це здається мені дуже помилковим!$\beta$$x$$v$$(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$$(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$$t_1$$t_2$$\beta$$t_1$$t_2$$u$$u \to_\beta^\ast t_1$$u \to_\beta^\ast t_2$