Складність башт Ханої

У мене виникли наступні сумніви щодо складності башти Ханої , щодо яких я хотів би отримати ваші коментарі.

Це в НП? Спроба відповіді: Припустимо, Пеггі (доказ) вирішує проблему і передає її Віктору (верифікатору). Віктор легко помітить, що остаточний стан рішення є правильним (за лінійним часом), але у нього не буде іншого варіанту, як пройти кожен з кроків Пеггі, щоб переконатися, що вона не зробила незаконний крок. Оскільки Peggy має зробити мінімум 2 ^ | диски | - 1 хід (доказний), Віктор теж повинен слідувати прикладу. Таким чином, Віктор не має перевірки поліноміального часу (визначення NP), а значить, не може бути в NP.
Це в PSPACE ? Здається, так, але я не можу придумати, як розширити вищезазначені міркування.
Це PSPACE-повний? Здається, ні, але у мене є лише розпливчасте уявлення. Автоматизоване планування, конкретним екземпляром якого є ToH, завершено PSPACE. Я думаю, що планування має набагато більш важкі випадки, ніж ToH.

Оновлено : Input = , кількість дисків; Вихід = конфігурація диска на кожному кроці. Після оновлення я зрозумів, що цей формат вводу / виводу не відповідає проблемі рішення. Я не впевнений у правильній формалізації для відображення понять NP, PSPACE тощо для подібного роду проблем. $n$

Оновлення №2 : Після коментарів Каве і Джеффа я змушений зробити проблему більш точною:

Нехай вхід - пара входів де - кількість дисків. Якщо послідовність рухів, зроблених дисками, записується у форматі (номер диска, від-прив’язки, до-прив’язки) (номер диска, від-прив’язки, до-прив’язки) ... від першого переміщення до Останній і закодований у двійковому, виводить й біт. $(n,i)$ $n$ $i$

Дайте мені знати, чи потрібно мені бути більш конкретним щодо кодування. Я припускаю, що коментар Каве застосовується в цьому випадку?

complexity-theory time-complexity

— ПКГ
джерело

Ви можете, будь-ласка, визначити проблему "Башти Ганоя" або посилання на визначення?

— Каве

ПКГ, я знаю, що це Ханойська вежа. Я мав на увазі, у чому полягає обчислювальна проблема, яку ви хочете знати про її складність? Що таке вхід? Який вихід?

— Kaveh

@Kaveh: Ваш намір був незрозумілий з вашого першого коментаря

— PKG

вибачте. До речі, існують класи складності функцій, вони зазвичай мають F до і після назви, перевіряйте зоопарк складності на визначення.

— Каве

Так ціле число

також є частиною вводу?

i

$i$

— JeffE

Ні, описана вами проблема насправді досить проста. Причина високого рівня полягає в тому, що індекс приблизно біт довгий, тому ми можемо дозволити собі витратити час полінома в . $i$ $n$ $n$

Розглянемо наступну пов’язану задачу: Давши два цілих числа та , опишіть й хід у розв’язку -дискової головоломки. Розмір вводу - , але насправді має значення лише найменш значущий біт . Тож навіть якщо значно менший за , ми можемо вирішити цю задачу в поліномії часу в . $n$ $k$ $k$ $n$ $\lg n + \lg k < n + \lg k$ $n$ $\lg k$ $n$ $O(\log k)$

Припустимо, що диски пронумеровані від до будь-яких у збільшенні розмірів, а кілочки нумеруються 0 = джерело, 1 = призначення та 2 = запасні. Запишемо для деяких цілих чисел і . Потім по черзі : $0$ $k = (2p+1)\cdot 2^d$ $p$ $d$ $k$

Якщо є непарним, то диск переходить від прив'язки до прив'язки . $d+n$ $d$ $(p\bmod 3)$ $((p+1)\bmod 3)$
Якщо є парним, то диск переміщується з форми peg в peg . $d+n$ $d$ $(-p\bmod 3)$ $((-p-1)\bmod 3)$

Ми можемо легко обчислити і у часі , провівши двійкове представлення від найменш значущого біта вгору. Це воно. $p$ $d$ $O(\log k)$ $k$

Тепер припустимо, що ви дійсно хочете го біта у вихідній послідовності, де є частиною введення замість . Якщо кожен виток кодується за допомогою однакової кількості бітів, зокрема, біт для номера диска, біта для-прив’язки, і біта для прив’язки - тоді нам просто доведеться обчислити й хід, де $i$ $i$ $k$ $\lg(n+1)$ $2$ $2$ $k$ $k = \lfloor{i/(\lg(n+1)+4)\rfloor}$ , а потім витягніть відповідний біт. (Зауважте, що є лінійним у вхідному розмірі, оскільки нам потрібно знати щоб визначити вихід.) $\lg(n+1)+4$ $n$

З іншого боку, якщо ми використовуємо представлення змінної довжини для чисел дисків, то ми можемо знайти число переміщення у поліноміальний час шляхом двійкового пошуку. Нам потрібно знати загальну кількість витків, необхідних для переміщення верхніх дисків, для всіх , але це задано повторенням який ми можемо оцінити в поліноміальний час за допомогою динамічного програмування. Решта деталей залишаються читачем як нудна вправа. $k$ $m$ $m\le k$

M (m) = 2 M (m - 1) + (\#bits to record moving disk m)

$M(m) = 2M(m-1) + (\text{\#bits to record moving disk } m)$

(Я припускаю, що я допустив принаймні одну поодинку або помилку паритету, але, сподіваємось, основна ідея зрозуміла.)

— JeffE
джерело