Про складність мінімізації смуги пропускання

Проблема пропускної здатності графіка визначається наступним чином. З огляду на графік , A макет F з G відображення один до одного з вершин G на цілих чисел { 1 , ... , | V | } . Ширина смуги F визначається як$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$

Ширина смуги$G$ , позначається , визначається як мінімальна ширина смуги пропускання макета, мінімум береться по всіх можливих макетів.$bw(G)$

Питання для рішення: заданий графік і ціле число , є ?$G$$k$$bw(G) \le k$

Відомо, що ця проблема є NP-повною навіть для дерев максимальної три ступені [ Результати складності для мінімізації пропускної здатності . Гарі, Грем, Джонсон і Кнут, SIAM J. Appl. Math., Vol. 34, №3, 1978]. Автори показують, що можна перевірити, чи має графік пропускна здатність не більше двох за поліноміальний час. Справа була відкрита.$bw \le 3$

Чи відома складність випадку ? Що ми знаємо про складність задачі, коли є не частиною входу, а фіксованою постійною щонайменше ?k $bw \le 3$$k$$4$

Посилання були б непогані.

Проблема пропускної здатності -тверда для всіх t . Це показали Bodlaender та ін. в "Поза NP-повнота для задач обмеженої ширини". Дивіться папір .$W[t]$$t$

З іншого боку, також відомо, що для будь-якого , чи має даний графік пропускну здатність не більше k, можна вирішити за час O ( f ( k ) n k + 1 ) . Це означає , що проблема смуги пропускання в X P . Дивіться ще один документ Сакс.$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$