Відкриті проблеми на кордонах ТКС

У потоці Основні невирішені проблеми теоретичної інформатики? Іддо Цамарет зробив наступний чудовий коментар:

Я думаю, що ми повинні розрізняти основні відкриті проблеми, які розглядаються як фундаментальні проблеми, як $P\neq NP$ , і основні відкриті проблеми, які будуть технічним проривом, якщо їх вирішити, але не обов'язково є основоположними, наприклад, експоненціальна нижня межа на $AC^0(6)$ ланцюгів (тобто воріт). Таким чином, ми, можливо, повинні відкрити нову вікі спільноти під назвою "відкриті проблеми на кордонах TCS" тощо.$AC^0+\mod 6$

Оскільки Iddo не запустив нитку, я подумав, що розпочну цю нитку.

Часто основні відкриті проблеми полів відомі дослідникам, які працюють у споріднених галузях, але точка, в якій поточні дослідження затримуються, стороннім невідома. Процитований приклад хороший. Як аутсайдер, зрозуміло, що однією з найбільших проблем складності ланцюга є показати, що NP вимагає схем надполіномальних розмірів. Але сторонні люди можуть не усвідомлювати, що поточна точка, на якій ми застрягли, намагається довести експоненціальні нижні межі для ланцюгів змінного струму ⁰ з модами 6 воріт. (Звичайно, можуть бути інші проблеми складності схеми подібної складності, які описували б, де ми застрягли. Це не є унікальним.) Ще один приклад - показати нижчі межі часового простору для SAT краще, ніж n ^1.801 .

Ця нитка для таких прикладів. Оскільки важко охарактеризувати такі проблеми, я наведу лише кілька прикладів властивостей, якими володіють такі проблеми:

1. Часто не буде великих відкритих проблем на місцях, але буде великим проривом, якщо його вирішити.
2. Зазвичай не неймовірно важко, в тому сенсі, що якби хтось сказав вам, що проблема вирішена вчора, в це не надто важко повірити.
3. Ці проблеми також часто матимуть цифри або константи, які не є основоположними, але вони виникають, оскільки це трапляється там, де ми застрягли.
4. Проблема на кордонах конкретного поля буде постійно змінюватися, на відміну від найбільшої проблеми в цій галузі, яка залишатиметься незмінною протягом багатьох багатьох років.
5. Часто ці проблеми є найпростішими проблемами, які все ще відкриті. Наприклад, ми також не маємо експоненціальних нижніх меж для AC ¹ , але оскільки [6] включений до цього класу, формально простіше показати нижчі межі для [6], і, таким чином, це в поточна межа складності ланцюга. A C $AC^0$$AC^0$

Будь ласка, розмістіть один приклад на відповідь; застосовуються стандартні конвенції великого списку та CW. Якщо хтось може пояснити, які типи проблем ми шукаємо краще, ніж у мене, будь ласка, відредагуйте цю публікацію та внесіть відповідні зміни.

EDIT: Kaveh запропонував, щоб відповіді також містили пояснення, чому дана проблема стоїть на кордоні. Наприклад, чому ми шукаємо нижчі межі проти AC ⁰ [6], а не AC ⁰ [3]? Відповідь полягає в тому, що ми маємо нижчі межі проти AC ⁰ [3]. Але тоді очевидним є питання, чому ці методи не відповідають AC ⁰ [6]. Було б добре, якби відповіді могли пояснити це теж.

Ось три з найкоротших досліджень:

O ( n + m log w ) 2 $1$ . Чи існує лінійний алгоритм часу для єдиних джерел найкоротших шляхів у спрямованих графах з негативними вагами, принаймні, у моделі обчислення словом RAM? Зауважте, що лінійний алгоритм часу існує для непрямих графіків (див. Статтю Торпупа). Виходячи з цього, Hagerup має час виконання для спрямованих графіків із обмеженими вагою . Чи є швидший алгоритм?$O(n+m\log w)$$2^w$

O ( n ω n ) ω < 2.376 O ( n 2.575 ) O ( n ω n $2$ . Чи існує алгоритм polylog для всіх пар найкоротших шляхів у невагомих спрямованих графіках? ( - показник множення матриці) Найкращим поточним часом виконання є , а для ненаправлених графіків задачу можна вирішити в polylog .$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(Чи справді спрямовані проблеми складніші?)

O ( n 2,9 ) n 0 , … , $3$ . Чи існує алгоритм для всіх пар найкоротших шляхів у графіках вузлів з вагами в { }? Або є зменшення від загальної проблеми всіх пар найкоротших шляхів до цього обмеження?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Про це вже йдеться у питанні:

Відчинено:

Відокремте від ( ланцюги глибини 2). A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(див. оновлення нижче)

[Лис. 11, 2010] Відокремте від . Відокремте від .A C 0 2 [ 6 ] E X P N P T C $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

Відомо:

1. [Олександр Разборов 1987 - Роман Смоленський 1987] не в якщо є простим, а - не силою . A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Аркадев Чатопадхей та Аві Вігдерсон 2009] Нехай m, q - це цілі числа ко-прости, такі, що m є квадратним і має не більше двох простих факторів. Нехай З будь-якою схемою типу , де є або чи воротами і ворота біля основи мати довільні набори прийому. Якщо C обчислює то верхній вентилятор, а отже, і розмір ланцюга, повинен бути . G A N D O R M O D m M O D q 2 Ω ( n $MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

Пізніший результат ґрунтується на отриманні експоненціально малої кореляційної межі функції з глибини-2 та оцінці експоненціальних сум за участю поліномів низького ступеня.$MOD_q$

Перешкоди:?

Оновлення [Лис. 10, 2010]

Папери по Райан Уільямс , схоже, вирішили цю відкриту проблему , використовуючи методи , які здаються істотно відрізняються від тих , які згадані вище:

[Ryan Williams 2010] не має неоднорідних ланцюгів розміром . A C C 0 2 n o ( 1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

Список літератури:

• А. А. Разборов. Нижні межі розмірів обмежених глибинних мереж на повній основі з логічним доповненням (рос.), Математичні заметки, 41 (4): 598–607, 1987. Переклад англійською мовою в Математичні записки АН УРСР, 41 (4): 333–338, 1987.

• Р. Смоленський. Алгебраїчні методи в теорії нижніх меж складності булевих ланцюгів. Сторінки 77–82 у STOC. ACM, 1987 рік.

• Аркадев Чатопадхей та Аві Вігдерсон. Лінійні системи над складовими модулями , FOCS 2009

• Райан Вільямс. Нижні межі ланцюга АСС , 2010 р., Проект (подано?).

Нехай CNF-SAT є проблемою визначення того, чи задана формула CNF підходить (немає обмежень на ширину пунктів).

Чи вирішується CNF-SAT на змінних та пропозиціях за час, для деякого ?$n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

Це добре відома відкрита проблема в області "більш швидких алгоритмів для NP". Я не думаю, що він досяг статусу "великої відкритої проблеми", але він привернув досить багато уваги. Найвідоміші алгоритми працюють за час (наприклад, тут ).$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

Пов’язана з гіпотезою експоненціального часу (що 3SAT не перебуває в субекспоненціальному часі), існує також "Сильна гіпотеза експоненціального часу", що оптимальний час роботи для -SAT сходиться до як . Одним із наслідків Strong-ETH було б те, що відповідь на вищезазначене питання - ні. З кількох правдоподібних гіпотез випливає, що відповідь "так" , але хто знає.$k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

Я думаю, що це одна з тих проблем, яка, ймовірно, буде вирішена так чи інакше: або ми покажемо відповідь "так", або ми покажемо, що відповідь "так" передбачає щось дуже важливе. У першому випадку ми матимемо задоволення від вирішення проблеми, у другому випадку ми піднесли це питання до "великої відкритої проблеми" ... без відповіді передбачається , і відповідь "так" передбачає щось дуже важливе. :)$P \neq NP$

Питання про те, чи є дерева рішень для засвоєння ПКС, схоже, знаходиться на межі теорії обчислювального навчання.

ВІДЧИНЕНО

Чи вивчаються PAC дерев рішень (DTs) при рівномірному розподілі на прикладах (або взагалі)?

ЗНАЙТЕ

• ДТ не вивчаються за умови рівномірного розподілу зі статистичними запитами (BQ) [ Blum et al. '94 ]
• випадкові ДТ засвоюються за рівномірного розподілу [ Джексон, Серведіо ’05 ]
• монотонні DT засвоюються за рівномірного розподілу [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• згладжений аналіз для вивчення DT за рівномірного розподілу [ Kalai, Teng '08 ]

Причина цього є цікавою і важливою проблемою в тому, що дерева рішень є дуже природним класом, і на відміну від, скажімо, автоматів, у нас немає результатів криптографічної твердості, які роблять проблему безперспективною. Прогрес у цьому питанні, можливо, може дати зрозуміти, чи навчаються ДТ (та подібні класи) без припущень щодо розповсюдження. Це може мати практичний вплив на додаток до теоретичного прориву.

Ця проблема також, здається, була вирішена з усіх боків. Ми знаємо, що при рівномірному розподілі на прикладах: монотонні дерева рішень вчаться, що дерева випадкових рішень є навчальними, а також існує згладжений аналіз. Ми також знаємо, що алгоритм SQ не вирішить цю проблему. І в цій галузі також є постійний прогрес. З іншого боку, це важка проблема, яка була відкрита на деякий час, тому, здається, це відповідає законопроекту "Відкриті проблеми на кордонах ТКС".

Зауважте, є й інші результати, які я не вдавався на твердість правильного навчання DT, на здатність вивчати DT за допомогою запитів та на твердість вивчення навіть випадкових DT з SQ.

ВІДЧИНЕНО:

Показати нижню межу в моделі зонду для комірок для явної статичної проблеми структури даних, яка доводить, що при деякому "розумному" обмеженні простору (наприклад, що простір має поліном на величину вводу), тоді час запиту повинен бути у щонайменше T, де T більше, ніж log | Q |, де Q - сукупність запитів. Це називається "log | Q | -бар'єр" (або іноді дещо неправильно названим "бар'єром для входу в систему").

ЗНАЄМО:

1. нижні межі вище, ніж log | Q | щодо неявної проблеми (див . опитування Мільтерсена )

2. нижні межі вище, ніж log | Q | з екстремальними обмеженнями в просторі (наприклад, Стислі нижні межі)

3. нижні межі вище, ніж log | Q | для динамічних проблем (де я маю на увазі, що якщо час оновлення дуже малий, то час запиту повинен бути дуже великим, або навпаки; див. наприклад нижню межу Патраску для часткової суми)

4. Нижні межі в обмежених моделях, таких як вказівні машини, порівняльні моделі тощо

5. нижні межі, що ламають журнал | Q | бар'єр неможливо довести стандартним видом зниження складності зв'язку, оскільки Аліса може просто надіслати сам запит, який займає лише журнал | Q | біт, і тому легко перевірити, що зменшення ніколи не дасть кращої нижньої межі, ніж ця. Таким чином, слід використовувати або прив’язану «рідну» до моделі зонду комірки, або потрібно використовувати більш розумне зниження складності зв'язку.

У класах складності низького рівня існує цікава проблема щодо характеристики .$\mathsf{NL}$

ВІДЧИНЕНО:

Покажіть, що дорівнює .$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

$\mathsf{UL}$ , однозначний простір журналів , - клас складається з проблем, які можна вирішити -машиною з додатковим обмеженням, що існує щонайменше один приймаючий шлях обчислення.$\mathsf{NL}$

ЗНАЄМО:

• За неоднакових обставин . [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• За правдоподібних припущень твердості ( потрібні схеми експоненціального розміру), результат [RA00] можна знецінити, щоб показати, що . [ARZ99]$\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• Доступність на 3-сторінкових графіках завершена для . [PTV10]$\mathsf{NL}$
• Доступність на 2-сторінкових графіках вирішується для . [BTV09]$\mathsf{UL}$
• Якщо , то . [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

НЕВІДОМО:

• Проміжний клас , який визначається як проблеми, розв’язувані -машиною, що мають щонайбільше поліноміально багато прийнятих обчислювальних шляхів, лежить між та . Ніяких обвалів не відомо.$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• Відомо, що за відомою теоремою Іммермана-Щелепченія, тоді як закритий під доповненням, все ще відкрито.$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Деякі відкриті проблеми PCP:

• Конструкція шкали ковзання. У PCP ми хочемо, щоб помилка верифікатора була якомога меншою. BGLR передбачає , що помилка може пройти аж до де - випадковість (явно є нижня межа ). Ціна, яку ви платите за зменшення помилки, лише збільшує алфавіт належним чином.$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

Більш формально: припущення полягає в тому, що існує ac, такий, що для всіх природних r, для всіх є верифікатор PCP, який використовує випадковість r для здійснення двох запитів на його доказ, має ідеальне похибка повноти та здоровості . Алфавіт підтвердження залежить лише від .$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Для двох запитів найвідоміша помилка - для деяких конкретних (M-Raz, 2008). Можна також досягти помилки для будь-якого , з кількістю запитів, що залежать від (DFKRS).$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

Нижні межі на c (тобто алгоритми наближення) також шукаються.

Дивіться опитування Ірит Дінур для більш детальної інформації.

• Лінійна довжина PCP. Існують великі відстані для виправлення помилок з лінійною довжиною. Чи є PCP з лінійною довжиною?

Зокрема, ми хочемо перевірити відповідність формули SAT, яка має постійну кількість запитів, постійний алфавіт і постійну помилку і отримує доступ до доказу лінійної довжини довжини формули? Це відкрито навіть для помилок, близьких до 1 (але краще, ніж тривіального ), субекспоненціального алфавіту та сублінійного числа запитів.$1-1/n$

Найвідоміша довжина - для постійної помилки, а для субконстантной помилки.$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Доведіть, що для кожного існує мова в , яка не має (неоднорідних) схем із проводами. Нагадаємо, що . Тобто доведіть нижню межу надлінійної ланцюга за експоненціальний час з доступом до оракул .$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

A локально декодируемый код (LDC) - це карта така, що існує алгоритм , який називається локальним декодером , яке, введене як введення ціле число і отримане слово яке відрізняється від для деякого на щонайбільше частка позицій, шукає більшість координат і виводить з вірогідністю щонайменше . LDC, як кажуть, лінійний, якщо$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$- це поле, а - -лінійний. LDC мають багато застосувань у теорії складності та приватності.$C$$\mathbb{F}$

Для та постійної ситуація повністю вирішена. Код Адамара - це лінійний запитний LDC з , і це, як відомо, є по суті оптимальним, навіть для нелінійних НРС. Але тут - це межа! Як тільки ми робимо , між відомими верхніми та нижніми межами виникає величезний проміжок. Найкраща верхня межа поточного рівня - це лінійний запитний LDC над будь-яким кінцевим полем (і навіть реалами та комплексами) зі складністю запиту [ Єфременко '09 , Двір-Гопалан-Єханін '10 ]. Найкращі нижні межі$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$ для лінійних запитів LDC над будь-яким полем і для загальних запитів LDC's [ Woodruff '10 ]. Ще більша ситуація щодо більшої кількості запитів.$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Який найбільш великий розрив між детермінованими та (двосторонніми обмеженими помилками) квантовими складностями запитів для загальних функцій?

Відчинено:

Чи існує загальна функція, квантова складність запиту якої T, а детермінована складність запиту - ω (T ² )?

Чи існує загальна функція, квантова складність запиту якої T, а детермінована складність запиту - ω (T ⁴ )?

Якщо загальну функцію можна обчислити за допомогою T-запитів квантовим алгоритмом, чи завжди її можна обчислити запитами детермінованим алгоритмом?$o(T^6)$

Відомо:

Якщо складність квантового запиту загальної функції дорівнює T, то її детермінована складність запиту дорівнює . (Довідка)$O(T^6)$

Найбільший відомий розрив досягається функцією АБО, яка досягає квадратичного розриву.

Оновлення (21 червня 2015 р.) : Зараз ми знаємо функцію, яка досягає квартного (4-ї потужності) поділу. Дивіться http://arxiv.org/abs/1506.04719 .

Можна припустити, що функція АБО досягає максимально можливого розриву.

Згідно з пропозицією Ешлі, дозвольте мені додати ту саму проблему для точного обчислення.

Відчинено:

Чи існує загальна функція, точна квантова складність запитів якої T, чия детермінована складність запитів - ?$\omega(T)$

Відомо:

Якщо точна квантова складність запиту загальної функції дорівнює T, то її детермінована складність запиту дорівнює . (Довідка)$O(T^3)$

Найвідоміший розрив - коефіцієнт 2.

Оновлення (5 листопада 2012 р.) : Це було покращено в суперлінійній перевазі для точних квантових алгоритмів Андрісом Амбаїнісом . З реферату: "Ми представляємо перший приклад булевої функції f (x_1, ..., x_N), для якої точні квантові алгоритми мають надлінійну перевагу перед детермінованими алгоритмами. Будь-який детермінований алгоритм, який обчислює нашу функцію, повинен використовувати N запитів, але точний квантовий алгоритм може обчислити його за допомогою O (N ^ {0.8675 ...}) запитів. "

Існує ряд відкритих проблем у складності доказів, я згадаю лише одну, яка залишається відкритою навіть після того, як деякі експерти витратили роки на її вирішення. Це версія, що підтверджує складність стану в складності ланцюга. (Див. [Segerlind07], якщо ви хочете бачити більше відкритих проблем у складності доказів.)

відчинено

Доведіть нижні межі суперполіномічного доказу для системи перевірки -Frege.$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (він же d-Frege + ) - система підтвердження пропозицій, яка дозволяє лише ( з воротами).$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

Відомий

1. Існують експоненціальні доказові розміри нижньої межі для -Frege (він же постійної глибини Frege, d-Frege) для (пропозиція формулювання принципу «Голуб-дірка» з голубів і отвори). Існують також експоненціальні нижні для -Frege + (постійна глибина Frege з підрахунком аксіоми). Відомо також, що -Frege + не є поліноміально обмеженими.$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. Для відповідного класу ланцюгів існують експоненціальні розміри ланцюга, а саме .$AC^0[2]$

Список літератури:

• Натан Сегерлінд, «Складність доказів пропозиції», Вісник символічної логіки 13 (4), 2007 р.

Відчинено:

Показати роздільний оракул між QIP (2) та AM. Тобто, показати проблему в QIP (2) ^А , що не в AM ^A .

Велика відкрита проблема полягає в тому, щоб показати поділ Oracle між BQP та PH. Але ми навіть не маємо поділу між BQP і AM (оскільки AM є в PH, це повинно бути простіше). Ще гірше - зробіть BQP значно більш потужним, дозволюючи взаємодію з Мерліном у 1 раунд, надаючи вам клас QAM або QIP (2) (залежно від публічних монет чи приватних монет), і ми все ще не маємо розлуки.

Відомо:

Найвідоміший поділ - між BQP та MA, який походить від цієї праці Джона Уотроуса . Для класів складності, які не є проблемними класами, дивіться ці результати Скотт Ааронсон .

Я не впевнений, чи належить це до класу прикордонних відкритих проблем чи великих відкритих проблем, тому коментарі вітаються.

Відчинено:

Покажіть, що означає згортається чи ні.$\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ ( однозначний час полінома) - клас, визначений як проблеми рішення, вирішені NP-машиною з додатковим обмеженням, що

• на будь-якому вході є щонайбільше один приймаючий шлях обчислення.

Про цю проблему було заявлено у блозі про складність у 2003 році.

Відомо:

Результат по Hemaspaandra, Найк, Ogiwara і Selman показує , що якщо має місце наступне твердження, то многочлен ієрархія падає на другий рівень.

• Існує мову таке , що для кожної формулу в SAT, є унікальна виконує з в .$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

Невідомо:

Будь-які навряд чи обвали або розриви.

Пов’язаний пост: Детальніше про синтаксичні та семантичні класи та UP vs NP .