Прекрасні результати в TCS

Нещодавно мій друг (працюючи в TCS) згадав у розмові, що "він хотів побачити / дізнатись усі (або якнайбільше) прекрасних результатів у TCS за життя". Цей вид змусив мене замислитися над прекрасними результатами в цій галузі та, отже, мотивацією для наступного питання:

Які результати (чи ідеї), на ваш погляд, прекрасні в теоретичній інформатиці? Було б чудово, якби ви також згадали про причину. [Було б добре, навіть якщо ідеї походять з математики, але викликали інтерес і знайшли використання в TCS]

Я б почав з відповіді як діагональний аргумент Кантора, тому що це простий, елегантний і в той же час потужний результат.

Невирішеність проблеми зупинки.

Прекрасна з багатьох причин. Це неможливий результат. Доказ використовує діагоналізацію. Заява стосується широкого кола моделей обчислень. Його можна сформулювати різними способами, зокрема, використовуючи стандартні мови програмування. Це був переломний результат в історії обчислень. Розширення цього твердження призводить до теореми Райса, градусів Тюрінга та багатьох інших цікавих результатів. І т.д. і т.д.

На мою думку, листування Кері-Говарда - один з найкрасивіших теоретичних результатів, і той, який змусив мене робити дослідження.

Ідея, що дві системи, програми з одного боку, і докази з іншого, мають абсолютно однакову структуру, має майже філософський характер: чи існують якісь загальні «міркування»?

Можливість криптографії з відкритим ключем, наприклад, схема обміну ключами Diffie-Hellman.

Це порушує дуже сильне уявлення, з яким доводиться стикатися людям, перш ніж обмінюватися секретами на незахищеному каналі.

Я був і досі дивуюсь алгоритму Евкліда. Для мене це свідчення сили людського мислення - щоб люди могли задумати такий алгоритм так рано (близько 300 р. До н.е., якщо я вірю своїй пам'яті).

Швидке пересилання, є розум нумерації літератури з цього питання. Я думаю , що список Скотта Аронсона має бути корисним у цьому плані - хоча, як каже сам Ааронсон, його не повний (і не зовсім теоретичний)

Метод Яо використовувати теорему Мінмакса фон Неймана для доведення нижчих меж для рандомізованих алгоритмів. Я вважаю це як щось із цього світу.

Імовірнісний метод підтвердження існування об'єктів, які нам важко побудувати, включаючи Локальну лему Ловаша. Ці прийоми настільки прості, але настільки потужні.

Конструкції теорії кодування Мадху Судана з використанням многочленів.

Розширювачі (це почалося як графіки Рамануджана) та екстрактори та їх застосування в псевдовипадковості.

Алгоритм швидкої трансформації Фур'є Кулі та Тукі для пошуку DFT. (Хоча, як припускав Тукі, це було повторним відкриттям добре відомої техніки, принаймні відомої Гауссу!)

Теорема Баррінгтона (дуже дивний результат свого часу)

Теорема паралельного повторення (хоча результат хороший, доказ непростий)

Функція Ловаса Тета для оцінки ємності Шеннона графа.

Алгоритм Еліпсоїда, який показав, що LP знаходиться в P, дивує багатьох за той час, коли багато хто все ще підозрював, що це може бути NP-Complete.

дивно одна з найбільш очевидних відповідей ще не додана. іноді людина занадто багато працює над чимось, щоб бачити це неупереджено. теорія NP повноти запущеного Cook / Левіна і відразу ж посилюється Короп , який дав раннє вказівку на його повсюдність, ще більш пророчим заднім числом. багато в чому це народження сучасної теорії ТКС та складності, і її основне / ключове / горезвісне питання P =? NP все ще відкрите після чотирьох десятиліть інтенсивного вивчення / нападу. P =? NP має нагороду Claymath у розмірі 1 млн доларів за своє рішення.

Доказ Кука ввів NDTM, який, очевидно, зовсім не є просто теоретичною цікавістю, а майже надзвичайно фундаментальною частиною TCS. запустив тисячу кораблів, так би мовити. крім того, він постійно чинить опір / не піддається зусиллям за допомогою однієї з інших ключових / потужних методів TCS, згаданих у цьому списку, діагоналізації, що спостерігається, наприклад, у результатах Oracle / Relativilization BGS-75-- що дозволяє припустити, що має бути щось екзотичне та інше в будь-якому можливому рішення, також додатково запропоноване / розширене документом «Природні докази Розборов-Рудич» (премія «Годель 2007»).

Є багато, багато рефлексив на subj, але ще одну недавню з деяким першим оглядом історії можна знайти в The P =? NP Question and Godzel Letter by RJ Lipton

Колмогоров Складність та метод несприйнятливості .

Метод несприйнятливості - заснований на складності Колмогорова - забезпечив новий та інтуїтивно зрозумілий спосіб формулювання доказів. У типовому доказі, що використовує метод несприйнятливості, спочатку вибирають нестислимий об'єкт із обговорюваного класу. Аргумент незмінно говорить про те, що якщо потрібна властивість не дотримується, то, на відміну від припущення, об'єкт може бути стиснутий, і це створює необхідну суперечність.

Дивіться, наприклад, доказ того, що існує нескінченна кількість простих чисел, альтернативне доведення теореми про незавершеність Годеля або зв’язки між складністю Колмогорова та обчислювальною складністю , ....

Я був (і все ще є) здивований другою теоремою рекурсії Кліна . На поверхні це здається простим і не дуже корисним, але пізніше я з’ясував, що це глибоко і математично, і філософсько.

Коли я також читав про варіант, перевірений на машинах Тьюрінга (дуже неофіційно, що вони заявляють, що машини можуть отримувати власні описи, або рівнозначно, що є машини, які видають власний опис, як програма, яка друкує себе ..), я відчула, як мій мозок перекрутився так важко, але заінтриговано, як ніколи. Потім ви бачите, як теорема використовується для доведення одного рядка доказів нерозбірливості зупинки проблеми та невпізнаваності мінімальних машин.

Теореми кодування джерел та каналів Шеннона.

Математичне визначення, яке розрізняло передане, приймальне та середовище, яке ігнорувало семантику повідомлення, було великим кроком. Ентропія в контексті даних - фантастично корисне поняття. А тому, що теорію інформації слід краще знати.

Гарний результат, який ґрунтується на теоремі PCP, говорить про те, що обчислювально важко (NP-важко) задовольнити більше 7/8 пунктів формули 3SAT навіть для задоволених.

алгоритм шорс для факторингу в BQP . на мою думку / пам’ять, до цього результату в 1994 році квантові обчислення були просто теоретичною цікавістю, і тоді, здається, вибухнула література та науковий інтерес до обчислень QM. його все ще, мабуть, один з найважливіших відомих алгоритмів управління якістю. удостоєний премії Геделя 1999 року. він також виявляє, що факторинг при обчисленні якості QM насправді є дещо краще зрозумілим, ніж у класичних обчисленнях, де, наприклад, все ще залишається питання про те, чи є факторинг завершеним NP.

мені здається, тест первинності AKS P-time досить гарний у різних сенсах. прорив у той час, один із великих, але досить рідкісних проривів, що спостерігаються в теорії складності в наше життя. він вирішує проблему, що датується давньогрецькою давниною, і стосується деяких найраніших винахідних алгоритмів (сита ератостена), тобто ефективного визначення прайменів. це є конструктивним доказом того, що виявлення первинності є в P на відміну від багатьох великих доказів, які, на жаль, неконструктивні.

його взаємопов'язаний з алгоритмом криптографії RSA, згаданим в іншій відповіді, тому що цей алгоритм повинен швидко знайти великі праймери, перш ніж алгоритм AKS це було можливим лише ймовірно. її фундаментально пов'язана з теорією чисел та іншими глибокими проблемами, наприклад, гіпотеза Рімана, яка багато в чому є оригінальною сферою алгоритміки.

удостоєний премії Геделя 2006 року та премії Фулкерсона 2006 року

Я думаю, що мінорна теорема Робертсона та Сеймура була найпрекраснішими теоріями, які я коли-небудь бачив (і частково читав). По-перше, це тихо складно, але базові припущення не складні, і кожен, хто працює в TCS, може їх здогадатися. Їх надзвичайні зусилля, щоб довести їх, були чудовими. Насправді після того, як я прочитав деякі статті з цієї серії, я зрозумів силу людського розуму.

Теорема другорядних графів має великий вплив на різні сфери ТКС. Як теорія графів, алгоритм наближення, параметризовані алгоритми, логіка, ...

Один з моїх улюблених сімейних результатів полягає в тому, що різні проблеми, здавалося б, нескінченного характеру вирішуються.

1. Теорія першого порядку реальних закритих полів визначальна (за Тарським). Евклідова геометрія також є моделлю аксіом реальних замкнутих полів, отже, за Тарським, висловлювання першого порядку в цій моделі визначаються.
2. Арифметика пресбургера вирішується.
3. Теорія першого алгебраїчно закритого поля (сюди входять складні числа) є вирішальною.
4. Монадична логіка другого порядку над нескінченними (і кінцевими) словами визначальна. Доказ елегантний і його можна навчити малогранців.

Існує безліч чудових результатів щодо імовірнісних алгоритмів, які є оманливо простими і чудовим кроком вперед у тому, як ми думаємо про обчислення.

трюк фон Неймана в реалізації справедливої ​​монети з упередженою. Зараз ми так звикли до ймовірнісних алгоритмів, але з зовнішньої точки зору це неймовірно круто. І алгоритм, і доказ доступні всім, хто знає ймовірність середньої школи.

Результат Тіма Гріффіна, що такі оператори управління call/ccпов'язані з класичною логікою, що розширює листування Кері-Говарда.

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

Його праця "Поняття контролю про формули як типи" з'являється в POPL 1990.

Моїм улюбленим є алгоритм лінійного часу Рабіна для обчислення найближчої пари точок у площині (а точніше її спрощення). Він переходить через важливість обчислювальної моделі, потужність рандомізованих алгоритмів та елегантний спосіб продумати рандомізовані алгоритми.

Це сказало, що CS ще далеко не досягти рівня елегантності, що зустрічається в математиці (ну, вони мали 5000 років перед початком), від основних визначень / результатів числення, топології (теореми з фіксованою точкою), комбінаторики, геометрії (теорема Піфагора http : //en.wikipedia.org/wiki/File: Pythag_anim.gif ) тощо.

Якщо ви шукаєте красу, шукайте її скрізь ...

Цей результат, мабуть, недавно визнаний фундаментальним, але я вважаю, що інтерпретація типів як гомотопія кваліфікується. Цей погляд дозволяє інтерпретувати типи з теорії конструктивного типу як множини з певними геометричними властивостями, в даному випадку гомотопію .

Я вважаю цю точку зору особливо красивою, оскільки вона робить певні раніше складні спостереження щодо теорії типів простими, наприклад, тим, що "аксіома K" не є похідною .

Огляд цього поля, що починається від Steve Awodey, можна знайти тут .

Доказ нульових знань - дуже цікава концепція. Це дозволяє суб'єкту, досліднику, довести (з великою часткою ймовірності) іншому об'єкту, верифікатору, що він знає "секрет" (рішення якоїсь NP-проблеми, модульний квадратний корінь якоїсь кількості, дискретний журнал якоїсь кількості тощо тощо), не даючи взагалі ніякої інформації про секрет (що важко на перший погляд, оскільки перша ідея довести, що ви знаєте секрет, - це насправді розповісти секрет, і що будь-яке спілкування, яке може призвести до перевіряючий, вважаючи, що ви знаєте таємницю, апріорі може лише збільшити знання перевіряючого про секрет).