Об’єднання двох бінарних дерев пошуку

Я шукаю алгоритм для об'єднання двох бінарних дерев пошуку довільного розміру та діапазону. Очевидний спосіб , яким я б йти про реалізацію цього було б знайти цілі поддерева чиїх діапазону може поміститися в довільний зовнішній вузол в іншому дереві. Однак найгірший час роботи для цього типу алгоритму, здається, визначається порядком того, O(n+m)де nі mрозмір кожного дерева відповідно.

Однак мені сказали, що це можна зробити O(h)там, де hбільша висота дерева. І я повністю розгублений, як це можливо. Я спробував спершу експериментувати з обертанням одного дерева, але повернути дерево в хребет - це вже O (h).

ds.algorithms ds.data-structures tree

— ефріц
джерело

Я не знаю erick У мене теж питання.

Справедливості, це було питання, задане в домашніх завданнях з алгоритмів. Виявляється, O (h) занадто суворий для виконання, оскільки питання забуло дати більше необхідної інформації: щоб усі ключі від одного дерева були меншими за всі клавіші у правильному дереві.

— efritz

Чи щось мені не вистачає, чи не було б легко виконати об'єднання двійкових дерев O(log n)за допомогою простої функції переміщення вузла?

— AT

@AT Так, але ми не знали, що ключі від одного BST взаємно виключаються від іншого.

— efritz

Це червоно-чорне дерево, а не BST. Червоний чорний (а також AVL дерева та купи) - це особливі види дерев, які зберігають властивість, обмежену висотою. БНТ ванілі може бути одним хребтом. Спробуйте вставити рядки чисел, що не зменшуються або збільшуються, і ви побачите, що висота цих дерев є насправді n. Тільки повні або цілі двійкові дерева мають логарифмічну висоту до їх загальної кількості вузлів.

— efritz

Відповіді:

В ArXiv: 1002.4248 , Джон Іаконо та Озгюр Оскан описують відносно простий алгоритм об'єднання двох бінарних дерев пошуку за амортизованим часом ; аналіз - це важка частина. [ Оновлення: Як правильно зауважує Джо у своїй відповіді, цей алгоритм пояснюється Брауном та Тарханом.] Вони також описують більш складну структуру даних словника, засновану на упереджених пропускних списках, яка підтримує злиття в амортизований час. $O(\log^2 n)$ $O(\log n)$

З іншого боку, неможлива межа гіршого випадку . Розглянемо два двійкових дерева пошуку з вузлами, одне зберігає парні цілі числа між і , а друге зберігає непарні цілі числа від до . Об'єднання двох дерев створює нове дерево бінарного пошуку, яке зберігає всі цілі числа між і . У будь-якому такому дереві постійна частка вузлів має інший паритет, ніж їхні батьки. (Доказ. Батько непарного листя повинен бути парним.) Отже, злиття парних і непарних дерев вимагає змін $O(\log n)$ $n$ $2$ $2n$ $1$ $2n-1$ $1$ $2n$ Покажчики . $\Omega(n)$

— Джефф
джерело

Одне зауваження: якщо я прочитав опис у цій статті правильно, ці дерева не підтримують вставлення та видалення.

злиття просто слід процедурі об'єднання пошуку пальця дерев (описану у відповіді Джо). Обмежений набір операцій дозволяє зробити кращий аналіз, ніж

O (\lg^{2} n)

$O(\lg^2 n)$

один.

O (n \lg \frac{m}{n})

$O(n \lg \frac{m}{n})$

— jbapple

Поліпшений аналіз пояснюється амортизацією, а не обмеженням дозволених операцій. Вставки та вилучення можуть бути підтримані розщепленнями та злиттями (фактично "приєднуючись") в той же

амортизований часовий проміжок.

O (l o g n)

$O(log n)$

— Jeffε

Лише з цікавості, чи впливає час

якщо дерева зберігаються в масивах замість пов'язаних списків (на що я припускаю, що ви мали на увазі, сказавши "зміна ... покажчиків ")?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— mtahmed

За замовчуванням "двійкові дерева пошуку" - це структури на основі вказівника (не "пов'язані списки"); кожен вузол вказує на своїх двох дітей і, можливо, на свого батька. Але нижня межа не залежить від точного подання. Є

способи об'єднання двох

вузлів бінарних дерев пошуку, тому будь-який алгоритм на основі порівняння потребує щонайменше

(\binom{2 n}{n})

$\binom{2n}{n}$

n

$n$

порівняннящоб вибрати правильний.

\log_{2} (\binom{2 n}{n}) \geq 2 n - O (\log n)

$\log_2 \binom{2n}{n} \ge 2n - O(\log n)$

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E: Я погоджуюсь, що розбиття та приєднання підтримуються, але я не думаю, що створювати чи знищувати дерева. Так, наприклад, якщо я хочу видалити "x" з алфавіту, я не отримаю просто "a..wyz", а й "x". Розмір Всесвіту (який

, див. Розділ 2.1) не змінюється. Також в вступі до розділу 1 зазначається, що множини повинні розділяти Всесвіт, що я трактую (можливо, неправильно), щоб означати, що кожен елемент у Всесвіті знаходиться в якомусь дереві. Отже, як я це прочитав, ця конструкція не працює над безмежними всесвітами. Ось як я повинен писати свій коментар вище.

n

$n$

— jbapple

Ця посилання може бути корисною: Браун та Тарджан, алгоритм швидкого злиття , в якому автори показують, як об’єднати врівноважені бінарні (AVL) дерева в який є оптимальним (для порівняння на основі алгоритмів). і- довжини відсортованих списків, представлені двійковими деревами пошуку, і передбачається, що. $O(n \log \frac{m}{n})$ $m$ $n$ $m \geq n$

Ви також можете побачити обговорення різних методик злиття впорядкованих наборів у розділі 11.5 цього документу на пальцях дерев пошуку

— Джо
джерело

Обидва

обмежена часом і відповідна нижня межа припускають, що

O (n \log \frac{m}{n})

$O(n\log \frac{m}{n})$

m \geq n

$m\ge n$

— Jeffε

Я думав, що це має на увазі обмежений час, але я редагував питання, щоб зробити це явним.

— Джо

Ви можете об'єднати дерева в час в гіршому випадку $\bf\mathcal{O}(1)$ , поки що підтримує: вставка, видалення і пошук в . $\mathcal{O}(log\ n)$

Бродал, Герт Столтінг, Христос Макрис і Костас Циклас. "Сортировані списки з чисто функціональним найгіршим випадком, упорядковані постійним часом" . У працях 14-ї конференції з щорічного європейського симпозіуму - Том 14, 172–183. ESA'06. Лондон, Великобританія, Спрінгер-Верлаг, 2006. [ PDF ]

— AT
джерело

Їх структура даних підтримує приєднання в O (1) амортизований час, а не злиття. Усі елементи в одному дереві повинні бути меншими за всі елементи в іншому.

— Jeffε

Ааа, правда. Довелося перечитати статтю: "Приєднуйся (

), з'єднує два дерева в одне дерево. Дерева

T_{i}

$T_i$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

впорядковані в тому сенсі, що всі елементи

або менші, або більші, ніж найменші або Найбільший елемент

. Припустимо, не втрачаючи загальності, що

. У цьому випадку дерево

приєднується до дерева

, а результатом цієї операції є дерево

T_{j}

$T_j$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

w (T_{i}) = w (T_{j})

$w(T_i) = w(T_j)$

T_{j}

$T_j$

T_{i}

$T_i$

приєднаний до вузла на корінці

«.

T_{i} \cdot T_{j}

$T_i \centerdot T_j$

T_{i}

$T_i$

— AT