Підрядок червоного і чорного дерева

Намагаючись виправити помилку в бібліотеці, я без успіху шукав документи про знаходження підрядок на червоних та чорних деревах. Я розглядаю рішення, використовуючи блискавки і щось подібне до звичайної операції додавання, що використовується в алгоритмах видалення для змінних структур даних, але мені все ще цікаво, чи не існує кращого підходу, який я не зміг знайти, або навіть якась мінімальна межа складності на таку операцію?

Щоб було зрозуміло, я говорю про алгоритм, який, враховуючи червоне і чорне дерево та два межі, створить нове червоне і чорне дерево з усіма елементами першого дерева, що належать до цих меж.

Звичайно, верхньою межею складності була б складність переходу одного дерева та побудови іншого шляхом додавання елементів.

Ця відповідь поєднує деякі мої коментарі до питання та розширює їх.

Операція піддіапазону на червоно-чорних деревах може виконуватися в гіршому випадку O (log n), де n - кількість елементів у вихідному дереві. Оскільки отримане дерево поділить деякі вузли з початковим деревом, такий підхід підходить лише в тому випадку, якщо дерева незмінні (або дерева змінні, але оригінальне дерево більше не потрібне).

Спочатку зауважте, що операція з піддіапазоном може бути реалізована двома розділеними операціями. Тут операція роздвоєння бере червоно-чорне дерево T і ключ x і створює два дерева L і R таким чином, що L складається з усіх елементів T менше, ніж x, а R елементів з T більше x. Тому наша мета зараз - здійснити роздільну операцію на червоно-чорних деревах у гіршому випадку O (log n).

Як ми виконуємо операцію розщеплення на червоно-чорних деревах за час O (log n)? Ну, виявилося, що був відомий метод. (Я цього не знав, але я не знаю структур даних.) Розгляньте операцію з'єднання , яка приймає два дерева L і R таким чином, що кожне значення в L менше, ніж кожне значення в R, і створює дерево, що складається з усіх значення L та R. Операція приєднання може бути реалізована у найгіршому випадку O (| r _L −r _R | +1), де r _L і r _R- це ряди L і R відповідно (тобто кількість чорних вузлів на шляху від кореня до кожного листка). Операція розбиття може бути реалізована за допомогою операцій з'єднання O (log n) разів, а загальний найгірший час все ще O (log n), враховуючи телескопічну суму.

Розділи 4.1 та 4.2 книги [Tar83] Тарджана описують, як реалізувати операції з’єднання та розколювання на червоно-чорних деревах у гіршому випадку O (log n). Ці реалізації знищують оригінальні дерева, але їх легко перетворити на незмінні, функціональні реалізації, копіюючи вузли, а не змінювати їх.

Як бічна примітка, модулі Set і Map від Objective Caml забезпечують роздільну операцію, а також інші стандартні операції на (незмінних) збалансованих деревах бінарного пошуку. Хоча вони не використовують червоно-чорні дерева (вони використовують збалансовані дерева бінарного пошуку з тим обмеженням, що ліва висота та права права відрізняються щонайбільше на 2), дивлячись на їх реалізацію теж може бути корисно. Ось реалізація модуля Set .

Список літератури

[Tar83] Роберт Ендре Тарджан. Структури даних та мережеві алгоритми . Том 44 серії регіональних конференцій CBMS-NSF з прикладної математики , SIAM, 1983 р.

Рішення - не використовувати червоно-чорні дерева. У деревах splay та AVL-кодах код для розщеплення та з'єднання дуже простий. Я посилаю вас на наступні URL-адреси з кодом java для splay дерев та деревами AVL, які це підтримують. Перейдіть за наступною URL-адресою та перевірте Set.java (avl дерева) та SplayTree.java (splay дерева).

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

--- Спальник Денні

(Це призначено для коментаря, але я занадто новий, щоб залишити коментар.)

Я просто хочу зазначити, що ви також можете бути зацікавлені в операції "висічення", яка повертає піддіапазон як нове дерево, а дерево введення без субдіапазону як інше. Потрібно мати контроль над базовим поданням дерева, хоча відомий метод покладається на рівні рівня. Ексцизія працює в логарифмічному часі на розмір меншого дерева, хоча і в амортизованому сенсі ("амортизований" є iirc, тому що я більше не маю доступу до паперу) Див.

К. Гофман, К. Мелхорн, П. Розенштьєль та Р.Є. Тарджан. Сортування послідовностей Джордана в лінійному часі за допомогою рівнів пов'язаних пошукових дерев, Інформація та контроль, 68 (1986), 170–184

PS Наведене вище посилання походить від запису про зраду Сейделя. Сльози також підтримують висічення.

$n$$m$$[a,b]$

1. $O(\lg n)$$\ge a$$a$
2. $O(m)$
3. $O(m)$

$O(m+\lg n)$$O(n+m\lg m)$ .

$o(m)$$\Omega(\lg m)$$k$$\lg m$

Я не розробив деталі, тому не знаю, як додаткова бухгалтерія впливає на час роботи.

$O(1)$$\Omega(\lg m)$