Обчислювальна складність підрахунку індукованих підграфів, які допускають ідеальне узгодження

Враховуючи непрямий і невагомий графік і парне ціле , яка обчислювальна складність підрахунку множин вершин така, що а підграф обмежений набір вершин визнає ідеальну відповідність? Чи складність # P-повна? Чи є посилання на цю проблему? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

Зауважимо, що проблема, звичайно, проста для постійної оскільки тоді всі підграблі розміром можуть бути перераховані за часом . Також зауважте, що проблема відрізняється від підрахунку кількості ідеальних відповідностей. Причина полягає в тому, що набір вершин, який допускає ідеальну відповідність, може мати безліч досконалих відповідностей. $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

Ще один спосіб заявити про проблему полягає в наступному. Збіг називається $k$ -збігом, якщо він відповідає $k$ вершин. Дві відповідність $M$ і $M'$ є `` вершина-множина-неінваріантна' ', якщо множини вершин, відповідні $M$ і $M'$ , не ідентичні. Ми хочемо порахувати загальну кількість вершин-множини-неінваріантних $k$ -зв’язків.

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— га
джерело

Коли

k = \log n

$k=\log n$ , кількість таких підмножин є

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ , і перевіряється, чи має графік, індукований підмножиною, ідеальну відповідність за допомогою Tutte's характеристика займає час

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ , отже, навряд чи воно буде навіть повним NP, якщо тільки гіпотеза експоненціального часу не є помилковою. Звідси цікавий випадок, коли

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ , і тоді наївний підхід займає

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ час, якщо ви шукаєте #P повноти.

— Сахін Корот

@ Саджін Корот: Я не дотримуюся останнього речення у вашому коментарі. Наприклад, якщо k = √n, наївний підхід займає

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$ час, і я не думаю, що це дає будь-які докази проти того, що він є # P-завершеним.

— Цуйосі Іто

@TsuyoshiIto: Так, ти прав. Повинно було "вибрати

k

$k$ таким, що наївний підхід займає

O (2^{n})

$O(2^n)$ час".

— Сахін Корот

@ Саджін Корот: Чому слід обирати значення k таке, щоб наївний підхід забирав час ? Це, мабуть, не шкодить, але я не бачу, чому слід так робити.

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Цуйосі Іто

Здається, що більшість проблем типу "як індуковані людиною підграграфи розміром k мають властивість X?" важкі. Навіть властивість "має край" є важкою ("Має край" вирішує "не має краю", який є "є повним графіком" у поєдинку ... вирішує MAX CLIQUE). Це дійсно дає відчуття, що "має ідеальну відповідність" також буде важко, але знайти доказ зараз важко.

— bbejot

Проблема - # P-завершена. Це випливає з останнього абзацу сторінки 2 наступного документу:

CJ Colbourn, JS Provan, D. Vertigan, Складність обчислення полінома Тутта на поперечних матроїдах, Combinatorica 15 (1995), вип. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— га
джерело

Проблема визнає FPTRAS. Це рандомізований алгоритм який отримує графік , параметр та раціональні числа і як вхідні дані. Якщо - кількість -вершин, які ви шукаєте, то виводить число таке, що і це робиться в часі , де - деяка обчислювана функція і $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$

П (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$ є деяким многочленом.

Це випливає з Thm. 3.1 дюйма (Jerrum, Meeks 13) : Враховуючи властивість графів, є FPTRAS з тим же входом, що і вище, що приблизний до розміру набору умови, що обчислюється, монотонним, і всі його графіки з мінімальними ребрами обмежують ширину ширини. Усі три умови виконують, якщо є властивістю графа, що дозволяє визначити ідеальну відповідність. $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— Раду Куртикапей
джерело