Помітні приклади ідеї квадратного кореня в аналізі складності

$\max \left\{k, n/k\right\}$$k=\sqrt n$

• алгоритм дитячого гігантського кроку для обчислення дискретного логарифму в ,$O(\sqrt n)$
• статичний 2D ортогональний підрахунок діапазону в часу та пам'яті,$O(\sqrt n)$$O(n)$
• пріоритетна черга з EXTRACT-MIN в та DECREASE-KEY в ,$O(\sqrt[k] n)$$O(1)$
• розфарбування трикольорового графіка кольорами у поліноміальний час,$O(\sqrt n)$

просто назвати кілька.

Хоча такі алгоритми часто є неоптимальними, їх легко зрозуміти студентам і добре швидко показати, що наївні межі не є оптимальними. Крім того, структури даних із ідеєю квадратних коренів іноді є більш практичними, ніж їхні двійкові аналоги на основі дерев через зручність кешу (не враховуючи методів, що не враховують кеш). Ось чому я приділяю приємну увагу цій темі під час викладання.

Мене цікавлять більш виразні приклади такого роду. Тому я шукаю будь-які (бажано елегантні) алгоритми, структури даних, протоколи зв'язку тощо, аналіз яких спирається на ідею квадратного кореня. Їх асимптотика не повинна бути оптимальною.

Підлінійні геометричні алгоритми Шазель, Лю та Магена (STOC 2003, SICOMP 2006) мають декілька розумних застосувань наступного трюку випадкової вибірки. Варіанти цього ж трюку раніше використовували Гартнер та Вельцл [ DCG 2001 ], які цитують перше видання CLR (1990).

Припустимо, нам подано відсортований круговий зв'язаний список номерів, що зберігається у суміжному блоці пам'яті. Тобто ми маємо два масиви і N e x t [ 1 .. n ] , де$Key[1..n]$$Next[1..n]$

• зберігає набір з n чисел у довільному порядку;$Key[1..n]$$n$
• Якщо - найбільше число у множині, то K e y [ N e x t [ i ] ] - найменше число у множині; в іншому випадку K e y [ N e x t [ i ] ] - найменше число у множині, яке більше, ніж K e y [ i ] .$Key[i]$$Key[Next[i]]$$Key[Next[i]]$$Key[i]$

Тоді ми можемо знайти наступника заданого числа в O ( $x$очікуваний час наступним чином:$O(\sqrt{n})$

• Виберіть випадкову вибірку елементів масивуKey. НехайKey[j]- найбільший зразок, менший заx(або найбільший зразок, якщо всі вибірки більшеx).$\sqrt{n}$$Key$$Key[j]$$x$$x$

• Дотримуйтесь покажчиків від K e y [ j ], поки ми не побачимо число, яке більше або рівне x (після обгортання, якщо всі вибірки були більшими за x ).$Next$$Key[j]$$x$$x$

Порівняно просте застосування леми Яо означає, що очікуваний обмежений час є оптимальним. Будь-який детермінований алгоритм цієї проблеми вимагаєв найгіршому випадку часΩ(n).$O(\sqrt{n})$$\Omega(n)$

$O(m^{3/2})$$m$$O(m^{3/2})$$n-k$$k$$n-k$$k$$m/k+k$$O(\sqrt m)$$O(m^{3/2})$