Складність "є графіком продукт"

Це питання виникає з чистої цікавості (воно виникло під час роздумів про перемішування струни , але я не впевнений, чи це насправді пов’язано), тому я сподіваюся, що це доречно.

Є різні графічні продукти, і мене тут цікавить будь-яка з них. У чому полягає складність визначення того, чи графік ізоморфний до нетривіального продукту? (Безумовно, для декартового добутку де - графік з однією вершиною.)$K$$K = K \square 1$$1$

Я переглянув сторінки «факторний графік» та «факторизація графіків» у Вікіпедії, але жодна з них, схоже, не пов’язана. Чи відома ця проблема під іншою назвою?

Перевірте папір Вільфрід, Імріх; Ізток, Петрін, Визнання декартових продуктів у лінійному часі . Дискретна математика., 307, 3-5, Сторінки: 472--483, 2007. Я думаю, що в Імріча є більше паперів для інших продуктів.

Кілька графічних добутків можна розпізнати за полиномним часом. Як завжди, декартовий продукт є найпростішим, а декартовий випадок також є основою для алгоритмів для декількох інших продуктів. Розпізнавання лексикографічного продукту (композиції) еквівалентно графічному ізоморфізму.

Більш детально:

Нехай - клас кінцевих простих графів, а Γ 0 - клас кінцевих простих графів, які можуть мати само петлі. (Ясно Γ ⊂ Γ 0. )$\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

Вирішити, чи є в підключеному вхідному графіку коефіцієнтів Γ 0, можна зробити в поліноміальний час для декартових і сильних продуктів, а також для прямого добутку, коли G є небіоподібним. Вирішення, чи має G коефіцієнт, Γ - це термін полинома для декартового продукту, але навряд чи буде в поліномічний час для лексикографічного твору. Я не знаю статусу рішення, чи G має фактори Γ для прямих і сильних продуктів.$G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

Релевантні результати від Імріха та Клавжара:

$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

$\Gamma_0$

$O(m\log n)$$O(m)$

Для лексикографічного продукту:

Теорема 6.20. Проблема вирішення питання про те, чи є заданий пов'язаний графік простим щодо лексикографічного продукту, принаймні настільки ж складна, як і проблема ізоморфізму графа.

$n$$n$

Таким чином, вирішити, чи граф є простим щодо лексикографічного продукту, еквівалентний ІЗОМОРФІЗМУ ГРАФУ стосовно скорочень Тьюрінга.

Випадки прямого та сильного продукту, що мають фактори без самокрутника, здається, відсутні у посиланнях, які я розглянув. Буду вдячний за будь-які вказівки до статей, які обговорюють цю справу, або натяк, чому це нецікаво.

• Вільфрід Імріх та Санді Клавжар, графіки товарів: структура та визнання . Wiley, 2000. ISBN 0-471-37039-8.

Існує алгоритм лінійного часу для визначення простих коефіцієнтів пов'язаних графіків щодо декартового продукту. Дивіться статтю Імріха та Петерина.