VC-розмір сфер у 3 вимірах

Я шукаю розмір VC наступної набору.

Всесвіт $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ такий як $U\subseteq \mathbb{R}^3$. У встановленій системі$\mathcal{R}$ кожен набір $S\in \mathcal{R}$ відповідає сфері в $\mathbb{R}^3$ такий, що набір $S$ містить елемент в $U$ якщо і тільки якщо відповідна сфера містить її в $\mathbb{R}^3$.

Деталі, які я вже знаю.

1. Розмір VC є принаймні 4. Це тому, що якщо $p_1,p_2,p_3,p_4$ 4 кути тетраедра, тоді його можна зруйнувати $\mathcal{R}$

2. Розмір VC становить щонайменше 5. Це пов’язано з тим, що встановлену систему можна вбудувати $\mathcal{R}^4$ зі сферами в $\mathcal{R}^3$ відповідні гіперпланам у $\mathcal{R}^4$. Відомо, що гіперплани в$\mathcal{R}^d$ мають VC-вимір $d+1$.

Ось простий аргумент:

Припустимо, є набір $U$5 балів, які можна розбити кулями. Так для будь-якого набору$S \subseteq U$, існує куля $B$ вул $B \cap U = S$ і куля $B'$ вул $B' \cap U = U \setminus S$. Тому$B \cap B'$ не містить точок $U$. Якщо$B \cap B' = \emptyset$, $B$ і $B'$можна розділити площиною. В іншому випадку перетин поверхонь о$B$ і $B'$- це коло. Площина, в якій лежить коло, відокремлена$S$ з $U \setminus S$. Тому$U$ може бути розбита півпросторами, суперечливістю.

Цей же аргумент у вищому вимірі показує, що розмір VC-кульок дорівнює VC-розмірності напівпросторів.

Моє рішення неправильне. Дивіться іншу відповідь ...