Квантове обчислення - постулати ЯК

Я щойно почав (незалежно) дізнаватися про квантові обчислення взагалі з книги Нільсена-Чуанга.

Я хотів запитати, чи може хтось спробувати знайти час, щоб допомогти мені у тому, що відбувається з постулатом вимірювання квантової механіки. Я маю на увазі, я не намагаюся ставити під сумнів постулат; це лише те, що я не розумію, як значення стану системи після вимірювання виходить на .$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

Незважаючи на те, що саме те, що видається в постулаті, я вважаю, що це незручно, чому саме цей вираз. Я не знаю, чи є те, що я тут прошу, має сенс, але це виявляється чимось, що чомусь заважає мені далі читати,

Я не знаю, чи це "пояснення", але, сподіваюся, це корисний "опис".

Більш загально, ніж проективні вимірювання, завжди вимірюється оператор . (Проектор - особливий випадок цього.) Отже, що означає "вимірювати оператора"?

Що ж, оператори часто відповідають "спостережуваним" фізичним величинам. Наприклад, найбільш важливою в квантовій механіці є енергія; але можна (іноді опосередковано) вимірювати й інші величини, такі як імпульс кута, z- компоненти магнітних полів і т. д. Те, що вимірюється, завжди дає реально оцінені результати --- в принципі, певний результат (наприклад, електрон у стані "спіна +1/2" на відміну від "спіна −1/2", або в першому збудженому енергетичному рівні на відміну від основного стану в атомі водню тощо), хоча кожен апріорі можливий результат реалізується з певною вірогідністю.

Кожен з дійсно оцінених результатів вимірювання ми присвоюємо підпростору. Це ми робимо для опису гермітського оператора --- тобто оператора, який пов'язує реальне власне значення з різними підпросторами, а підпростори підсумовують весь простір Гільберта. Проектор - такий оператор, де реальні значення дорівнюють 0 і 1; тобто описує те, що вектор належить до визначеного підпростору (дає значення 1), або його ортодоповнення (дає значення 0). Ці ермітські оператори є спостережуваними , а власні простори - це ті, для яких спостережуване має "певне" значення.

Але як бути з тими векторами, які не є власними векторами і не мають "певних" значень для цих спостережуваних? Ось не пояснювальна частина опису: ми проектуємо їх в один із власних просторів, щоб отримати власний вектор з чітко визначеним значенням. Яку проекцію ми застосуємо, визначаємо випадково. Розподіл ймовірностей задається звичним правилом Born:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

де - проектор на c-власне простір 'спостережуваної величини' E (представлений оператором ). Пост-виміряне стан є деяка проекція стану на деякому власному просторі спостерігається A . І так, якщо - стан попереднього вимірювання, - стан після вимірювання, а - вимірюваний фактичний результат ( тобто власне простір, на який насправді проектувався стан попереднього вимірювання), маємо результат пропорційності A = ∑ $\Pi_c$| г | ⟩ | ψ 0 ⟩ | ψ 1 ⟩ П $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

за правилом проекції, щойно описаним. Ось чому у вашій формулі є проектор.

Загалом вектор - не одиничний вектор; оскільки ми хочемо описати стан після вимірювання іншим одиничним вектором, ми повинні змінити його масштаб на$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

що є квадратним коренем ймовірності, з якою результат відбувся б апріорі . Отже, ми відновимо формулу у вашому запитанні,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Якщо ця формула здається трохи незграбною, подумайте, що вона виглядає і почувається трохи краще, якщо представляти квантові стани операторами щільності.)

Відредаговано, щоб додати: вищевикладене не слід тлумачити як опис POVM. А «позитивний оператор оцінюється вимір» краще розглядати як описують очікуване значення різних вимірний спостерігаються Е _з в колекції {  E _з  } _{з  ∈ C}  .

Я запропоную ще одну відповідь на питання Акаша Кумара, який полягає в тому, що (особливо для студентів) хороший підхід до боротьби з таємницями квантової механіки - спочатку розібратися з таємницями класичної механіки.

У зв'язку з цим, рекомендованим початковим підручником (який доступний у м'якій обкладинці) є "Симетрія в механіці: ніжне сучасне введення" Стефані Франк Зінгер ... яка має перевагу в тому, щоб бути короткою і зрозумілою (включаючи 120 проблем, які працювали явно), і все ж впевнено обіймає основні сучасні ідеї симплектичної геометрії та теорії груп Лі.

Тут справа в тому, що на початку 20 століття квантова механіка та класична механіка здавалися двома дуже різними теоріями динаміки. Але якщо ми сприймемо серйозно максиму Володимира Арнольда, що "Гамільтонова механіка - це геометрія у фазовому просторі; фазовий простір має структуру симплектичного багатообразника", і ми сприймемо серйозно також максимуму Аштекара / Шиллінга, що "лінійна структура, яка є на перший план у Підручник з обробки квантової механіки - це, перш за все, лише технічна зручність та найважливіші інгредієнти --- різноманітність станів, симплектична структура та риманова метрика --- не поділяють цю лінійність », тоді ми прийшли до кращого розуміємо, що дисертація Троя Шиллінга 1996 р. спирається на міцну математичну основу, стверджуючи, що "

Цей уніфікований геометричний підхід до класичної / квантової динаміки вдається в основному завдяки тому, що класична механіка здається більш загадковою, а квантова механіка здається менш таємничою ... і студентам добре знати, що це один (з багатьох) життєздатних підходів до вивчення обох видів механіки.

Якщо ви їх ще не бачили, настійно рекомендую лекційні записки Скотта Ааронсона "Квантові обчислення з моменту демокриту" , особливо лекцію 9 . Вони справді допомагали мені як неексперту, і я намагався перекрити його презентацію до основних моментів тут і тут .

Що стосується вашого конкретного запиту, я думаю, що це допомагає побудувати інтуїцію, якщо ви можете обчислити кілька простих прикладів за допомогою Правила народження і подивитися, як працює постулат вимірювання на практиці.

Мені було найлегше уявити це як "Ймовірність вимірювання i-го результату - це квадрат амплітуди i-го елемента вектору стану - якщо ви зробите зміну основи до власних векторів Оператора".

Це також чітко пов'язане з інтуїцією того, що квантова механіка є ймовірною зі складними числами - оскільки квадрати амплітуд повинні дорівнювати 1.

Поки ви вивчаєте квантові обчислення, ви також можете перевірити це обговорення алгоритму Шор .

Додаток

Після повторного розгляду форми вашого запитання ( наприклад, M ^† M у знаменнику --- на відміну, наприклад, від одного оператора M, якого вистачає для проекторів) та повторного опису моєї копії Нільсена та Чауна, ось кілька додаткових деталей не охоплений моєю попередньою відповіддю. (Я публікую це як окрему відповідь через тривалість, і тому, що я вважаю, що це навіть менше "пояснення", ніж моя попередня відповідь.)

Припустимо , що наші єдиним засобом вимірювання кубіта X є непрямим: з допомогою «слабкого» взаємодії з Ancilla А , з наступним виміром на A . Ми хотіли б бути в змозі говорити про них як в деякому сенсі спосіб вимірювання X . Як ми можемо описати таке вимірювання лише в X ? Ну: припустимо, що ми можемо легко підготувати A у початковому стані , і виконати керований унітар такого типу, з контролем X і A як ціль:$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Тоді ми вимірюємо A у стандартній основі (так що тепер А зберігає результат вимірювання). Це перетворює стан X таким чином:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

У рівняннях вище, відзначимо , що , якщо результат вимірювання складає з , кінцевий стан з X пропорційна , де ми визначаємо$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

і ми можемо перевірити, що ймовірності, з якими ми отримуємо результати вимірювань, у кожному випадку .$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Це дуже близько до опису перетворення X так само, як ми описуємо проективні вимірювання. Але це якесь вимірювання, значущо кажучи? Добре: якщо ми можемо робити статистику результатів декількох ітерацій цієї процедури, і якщо X спочатку знаходиться в стандартній основі, ми помітимо, що існує зміщення, коли ми отримуємо результат '0': ми отримуємо його частіше коли X спочатку перебуває у стані . Якщо ми можемо відібрати достатньо разів, щоб розрізнити, чи розподіляються результати вимірювань більше, як чи , ми можемо з високою ймовірністю визначити, чи спочатку кубіт знаходиться у стані$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$ або стан .$|1\rangle$

Подібність формул імовірностей та оновлень формул прогнозного вимірювання, а також те, що ми можемо використовувати статистику вимірювань для отримання інформації про вимірюваний стан, мотивує узагальнення поняття "вимірювання", щоб включити такі процедури, як одна вище: ми можемо описати можливі результати вимірювань одним, двома або більше операторами (які насправді є "операторами Крауса", об'єктами, пов'язаними з картами CPTP), з результатами, описаними злегка узагальненим правилом Born$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

де - оператор Kraus, пов'язаний з вашим вимірюванням, і з правилом оновлення, заданим$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

Для того , щоб ймовірності бути збережені (так що з упевненістю по крайней мере , один з результатів вимірювань відбувається), ми вимагаємо . Це більш загальна форма у вашому запитанні, яку описали Нільсен та Чанг. (Знову ж, це виглядає трохи краще, коли описуються стани операторами щільності.)$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Загальні зауваження.

Загалом, у будь-який час, коли ми вводимо анцилу (або колекцію асіллів) A , взаємодіємо кубіт (або реєструємо кілька кубітів) X поодинці з A , а потім проводимо проективне вимірювання на A , це породжує своєрідне вимірювання з X ; Оператори вимірювання можуть бути потім описані деякою колекцією операторів позитивно- таких, що (знову так, що ймовірність збережена).∑ c M † c M $M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Більш загальні, слабкіші вимірювання, описані тут, більш тісно пов'язані з POVM, які дозволяють легко описувати ймовірності вимірювання «абстрактно», без явного вибору перетворень , надаючи операторам і дозволяючи використовувати це в правилі Born для обчислення ймовірностей. Як я нагадав і вище, і в своїй попередній відповіді, POVM можна розглядати як опис статистично доступної інформації про систему.E c = M † c M $M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Обдумування вимірювань з точки зору операторів Крауса (і з точки зору "реєстру результатів вимірювання" A, як зазначено вище) таким чином дозволяє вам покласти поняття вимірювання в поняття карти CPTP, що мені подобається. (Однак це насправді не змінює речі з аналітичної точки зору, і це не те, про що ви повинні турбуватися, якщо вам ще не комфортно з CPTP-картами).

Відповідь Ніль де Бодорап щодо краусівських операторів була дуже хорошою. Що стосується книги Нільсена та Чуанга, це означає, що слід прочитати розділ 2, потім главу 8, а потім втручаються глави.

Більше того, представлення оператора Крауса має нескінченно малу межу, яку називають оператором Lindbladian; Взагалі кажучи, оператори Ліндбладі - це оператори Крауса, що алгебра Лі для групи Lie. Онлайн-нотатки Карлтон-Печер "Повністю позитивні карти, позитивні карти та форма Ліндблада" охоплюють велику частину цього матеріалу.

Перевага роботи виключно з нескінченно малими операторами Lindbladian замість операторів Крауса полягає в тому, що відкат ліндбладів природним чином перетворюється на квантові простори стану не Гільберта; до них відносяться простори стану тензорної мережі, які стають всюдисущими в квантовій хімії та фізиці конденсованих речовин; крім того, методи відкатки також є повсюдними в теорії струн.

В даний час немає жодного підручника, який розвивав би цей геометричний, негільбертовий опис квантової динаміки ... але це повинно бути! Підручники, які (з вищезазначеними посиланнями) у сукупному обкладинці охоплюють основні ідеї: Джон Лі "Гладкі колектори", Френкель та Сміт "Розуміння молекулярної імітації: від алгоритмів до застосувань" та Клоєден і Платен "Числове рішення стохастичних диференціальних рівнянь".

Це правда, що це багато читається ... і саме тому геометричну квантову динаміку не вивчають на бакалаврському рівні. Це шкода, бо магістрантам все надто просто здобути фіксовану думку про те, що державний простір квантових динамічних систем є лінійним векторним простором, хоча це не так у більшості масштабних практичних розрахунків.

Щодо простору держав, який використовує Природа: ніхто не знає - експериментальні докази локальної (дотичної простору) квантової лінійності є досить сильними, проте докази глобальної (гільбертово-просторової) квантової лінійності досить слабкі. Зокрема, високоточні квантові динамічні експерименти з молекулярними променями, які багато підручників проводяться як докази квантової лінійності - можуть бути змодельовані з необхідною відносною точністю ~ 1/2 ^ {65} на мережевих просторах тензорних мереж низьких розмірів, з майже досконалою динамічною симплектичністю, що замінює майже досконалу динамічну лінійність.

З вищезазначених причин, можливо, учні 21 століття не повинні сприймати підручники XX століття повністю за номінал. Але насправді, який студент 21 століття хотів би цього по-іншому?

Сказане - як інженери квантових систем сприйняли набір математичних інструментів, що вирішують геометричну та алгебраїчну природність, і, як правило, застосовуються до класичних, квантових та гібридних динамічних систем.

---

Редагувати додаток: Як перевірка доцільності геометричного підходу до практичного квантового моделювання наша група квантових систем інженерії (QSE) доповнила класичний підручник Чарлі Сліхтера " Принципи магнітного резонансу " вдосконаленою версією глави 3 " Магнітне диполярне розширення та перехід поляризації в Жорсткі ґрати ".

Ця геометрична транскрипція вказує, природно, на безліч відкритих питань геометричної динаміки; див., наприклад, запитання MathOverflow " У квантових динамічних моделюваннях, що є симетричним (римановим) аналогом дужки Пуассона? "

По-перше, чому спостереження представлені операторами? У класичній механіці спостережуване - це реальна цінність функції фазового простору. Він витягує із системи інформацію про такі величини, як енергія чи імпульс, але не впливає на неї та не заважає. Якщо спостерігач є частиною системи, то вимірювання є фізичним процесом і може змінити еволюцію системи. Для кінцевої, нескінченно малої еволюції часу, щоб бути унітарною (тобто зберігати загальну ймовірність), нескінченно малий час еволюції повинен бути ермітським. Це теорема Стоуна; це пояснює, чому оператори квантової механіки є гермітами.

Якщо це має сенс, формула випливає з двох речей:$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• | г | ⟩ М | г | ⟩ ⟨ г | | ⟨ г | | M $M$ описує нескінченно малу еволюцію процесу вимірювання для спостережуваного. Наступником є а подвійність наступником є .$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• Норма - це загальна ймовірність стану. У поєднанні з попереднім пунктом це свідчить про загальну ймовірність спадкоємця . Поділ на квадратний корінь нормалізує стан.⟨ г | | M † M | г | $\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Ну, я надам кілька додаткових посилань, що стосуються питання Акаша Кумара про квантові постулати, з метою заохочення учнів до вивчення математики, що їм потрібно оцінити багато добре розроблених рамок для вивчення як класичної, так і квантової динаміки.

Почнемо там, де йде текст Нільсена-Чуанга, а саме з "Теорема: Унітарна свобода у представництві оператора-суми" (Розділ 8.2 Нільсен-Чуанг). Текст Нільсена та Чуанга зазначає, що одне практичне застосування цієї теореми прийшло в теорії квантової корекції помилок, де вона була "вирішальною для хорошого розуміння квантової корекції помилок". Але тоді текст Нільсена-Чуанга замовчує.

Відповіді, надані (поки що) тут на стек-біржі, не дуже допомагають зрозуміти цю "унітарну свободу" ... яка, як виявляється, є центральною у всіх аспектах квантової механіки, пов'язаних з тим, що Ейнштейн і Бор назвали "spukhafte Fernwirkungen" (моторошна дія на відстані) квантової механіки. Зокрема, ця унітарна свобода є ключовою для квантового зчитування, квантової корекції помилок та квантової криптографії - три основні причини, за якими студенти TCS вивчають квантову динаміку.

Щоб дізнатися більше, що повинен читати студент? Варіантів існує безліч (і інші можуть мати свої переваги), але я рекомендую «Статистичні методи в квантовій оптиці: некласичні поля» Говарда Кармайхеля: «Глава 17–19» під назвою «Квантові траєкторії I- III ".

У цих трьох розділах текст Кармайхеля фізично мотивує те, що текст Нільсен-Чуанг кодує як формальні постулати і теореми, а саме нашу свободу різними способами "розгадувати" проективні вимірювання (теж непроективні вимірювання). Фізично ця свобода забезпечує те, що ми живемо у причинно відокремленому Всесвіті, математично ця свобода є основою всієї квантової криптографії та виправлення помилок.

AFACIT, саме Карміхайл в 1993 році винайшов уже стандартний термін "розгадування", щоб описати цю інформаційну інваріантність. Відтоді література, що розплутується, надзвичайно зросла: цілотекстовий пошук сервера arxiv для «кванту» та «розгадування» знаходить 762 рукописи; у варіанті написання "розгадування" знайдено ще 612 рукописів (можливо, з деякими дублікатами).

Звичайно, вивчення математичного набору інструментів та фізичних ідей, пов'язаних з квантовим розгадуванням, - це велика робота. Доцільно запитати, яку вигоду (студенти) можуть студенти очікувати, щоб повернути цю нелегку працю? У відповідь наводимо одноразову притчу, головна чеснота якої полягає в тому, що вона надзвичайно коротша, ніж читання двох дуже довгих, жорстких квантових текстів (Нільсен-Чуанг та Кармайкл).

Колись студентка евклідової геометрії на ім'я Аліса запитала себе: "Як насправді працює вимірювання довжини Евкліда?" Постулати Евкліда відповіли на питання Аліси так: "Всі вимірювання фізичної довжини еквівалентні вимірюванням компасом, математична модель якого є відрізком рядка чисел". І все-таки величезними зусиллями творчої уяви Аліса задумала рівнозначну, але більш загальну відповідь: "Всі вимірювання фізичної довжини еквівалентні інтеграціям швидкостей вздовж траєкторій, математична модель яких - криві на колекторах, які оснащені симплектичними та метричними формами та динамічними потенціалами. . " Неевклідовій основі Аліси для класичної динаміки було багато чого навчитися, але це відкрило їй нові світи науки, техніки,

Щоб зробити точку притчі явною, Аліса прийняла диференціальний опис класичної динаміки і, таким чином, звільнилася від жорстких обмежень евклідового простору. Так само сьогоднішні квантові студенти мають можливість використовувати диференціальний опис розгадування динаміки і, таким чином, звільняти себе від жорстких обмежень гільбертового простору.

Як і у випадку з неевклідовою класичною динамікою, квантовою динамікою, що не є Гільбертом, потрібно багато вивчити --- на даний момент не існує єдиного підручника, який би охоплював весь необхідний матеріал --- і все ж ці нові неевклідові / не-Гільберти динамічні рамки відкривають величезні нові світи для дослідження. Ці дослідження розповсюджуються від загадок теорії струн до важких проблем написання ефективних, перевірених квантових моделюючих кодів у хімії та матеріалознавстві. Зрозуміло, що дослідження в будь-якій з цих областей вже вимагають від студентів як глибшого оцінювання класичної динаміки, ніж Евкліда, так і глибшого оцінювання квантової динаміки, ніж Гільберта.

Ось чому математичні виклики та дослідницькі можливості, пов'язані як з класичною, так і з квантовою динамікою, ніколи не були більшими, ніж в даний час. Що добре!